Funzioni concave e convesse in $RR^2$

[HowardRoark]

Ho questa definizione negli appunti che non capisco:
sia $f: X sube RR^2 -> RR$ una funzione di classe $C^1$, $X$ convesso. $f$ si dice globalmente convessa se:

$f(x_2,y_2) + \grad f(x_2,y_2) * (x_2-x_1, y_2-y_1) <= f(x_1,y_1)$, per ogni $(x_1,y_1), (x_2,y_2) in X$.
Il membro a sinistra dell'uguaglianza sarebbe un piano passante per $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$ (scriverei pure parallelo al piano $Oxy$ perché un piano passante per due punti non mi sembra ben determinato, almeno intuitivamente)?
In $RR$ una funzione è convessa in un intervallo $[a,b]$ quando giace al di sotto della retta passante per $(a,f(a))$, $(b,f(b))$, quindi immagino che in $RR^2$ una funzione convessa giaccia al di sotto di un piano passante per gli estremi dell'intervallo, è giusto?
Detto questo, non riesco ancora a capire quella definizione.

[gabriella127]

La definizione di convessità in due variabili è praticamente uguale a quella in una variabile: la funzione sta al di sotto del segmento che congiunge due punti.
Non c'entra nessun piano che passa per i due punti (che come giustamente dici non ha molto senso, ce ne sono due-tre miliardi, anzi, infiniti).

Guarda questi brevi appunti del Prof. Gobbino di Pisa per la definizione con i segmenti, molto semplice:

http://pagine.dm.unipi.it/gobbino/Table ... L21-23.pdf

Quello che hai scritto sopra dice un'altra cosa, che per funzioni differenziabili una funzione è convessa se sta sopra il piano tangente (quello è determinato), quella sopra che hai scritto è l'equazione del piano tangente, non c'entrano i piani che passano per due punti.
È equivalente all'idea che per funzioni di una variabile la funzione è convessa se sta sopra la tangente nel punto in considerazione.

Per quanto riguarda $X$, l'insieme di definizione, convesso, il motivo è che la definizione di convessità non ha senso su insiemi non convessi, quando vai a fare il segmento rischi di andare fuori dall'insieme se non è convesso.

C'è anche questo nelle pagine di Gobbino, da cui riporto una figura:

[HowardRoark]

Quello che hai scritto sopra dice un'altra cosa, che per funzioni differenziabili una funzione è convessa se sta sopra il piano tangente (quello è determinato), quella sopra che hai scritto è l'equazione del piano tangente, non c'entrano i piani che passano per due punti.

Ora è decisamente più chiaro, ti ringrazio anche per avermi riportato gli appunti.

[pilloeffe]

Ciao HowardRoark,

Dunque... L'equazione del piano tangente ad una funzione $z = f(x, y) $ in un punto $P_0(x_0, y_0, f(x_0, y_0)) $ si può scrivere nel modo seguente:

$z = f(x, y) = f(x_0, y_0) + (\del f)/(\del x)(x_0, y_0)(x - x_0) + (\del f)/(\del y)(x_0, y_0)(y - y_0) = $
$ = f(x_0, y_0) + \nabla f(x_0, y_0) \cdot (x - x_0, y - y_0) $

In forma più compatta: $f(P) = f(P_0) + \nabla f(P_0) \cdot (P - P_0) $

$f$ si dice globalmente convessa se:

$f(x_2,y_2) + \grad f(x_2,y_2) \cdot (x_2-x_1, y_2-y_1) \le f(x_1,y_1)$, per ogni $(x_1, y_1),(x_2, y_2) \in X$

Assumendo che valga questa che hai scritto (però vanno scambiati $P_1$ e $P_2$), scriviamola nella più compatta forma seguente:

$f(P_2) + \grad f(P_2) \cdot (P_1 - P_2) \le f(P_1)$, per ogni $P_1, P_2 \in X$

scegliamo qualsiasi $ P_1, P_0 \in X$ e $\alpha \in [0, 1]$ e sia $ P_1 = \alpha P_2 + (1 - \alpha) P_0 $
Usando la disuguaglianza che hai scritto per due volte si ottiene:

$f(P_1) + \nabla f(P_1 )\cdot (P_2 - P_1) \le f(P_2) $

$f(P_1) + \nabla f(P_1)\cdot (P_0 − P_1) \le f(P_0) $

Moltiplicando la prima disuguaglianza per $\alpha \ge 0 $ e la seconda disuguaglianza per $(1 - \alpha) \ge 0 $ si ha:

$\alpha f(P_1) + \alpha \nabla f(P_1 )\cdot (P_2 - P_1) \le \alpha f(P_2) $

$(1 - \alpha) f(P_1) + (1 - \alpha)\nabla f(P_1)\cdot (P_0 − P_1) \le (1 - \alpha) f(P_0) $

Sommandole si ottiene:

$\alpha f(P_2) + (1 - \alpha) f(P_0) \ge f(P_1) + \nabla f(P_1)(\alpha P_2 + (1 - \alpha)P_0 - P_1) = $

$ = f(P_1) + \nabla f(P_1)(P_1 - P_1) = f(P_1) $

che prova che $f$ è convessa.

[gugo82]

Per capire la convessità di funzioni di due variabili bisogna conoscere un po’ di Geometria Analitica in dimensione 3, almeno: come si scrive l’equazione di un piano, come si scrivono le equazioni di una retta, come si descrive un segmento.
Ci sono testi di Matematica per corsi di laurea in cui non è previsto un corso apposito di Algebra Lineare/Geometria nei quali sono richiamate tutte queste nozioni. Ad esempio, nel Crasta & Malusa queste robe ci sono e sono spiegate in maniera comprensibile.

[HowardRoark]

Per capire la convessità di funzioni di due variabili bisogna conoscere un po’ di Geometria Analitica in dimensione 3, almeno: come si scrive l’equazione di un piano, come si scrivono le equazioni di una retta, come si descrive un segmento.

A me la geometria analitica in 3 dimensioni manca proprio, infatti l'equazione di un piano non la conosco (cioè non la riesco a dimostrare o a dedurre come facevo nel piano cartesiano con l'equazione di una conica) e ovviamente non riesco a riconoscere nessuna curva nelle 3 dimensioni (ad esempio un paraboloide, un ellissoide..., intuisco cosa siano ma mi sembra insufficiente solo estendere quello che so di geometria analitica sul piano).

Ci sono testi di Matematica per corsi di laurea in cui non è previsto un corso apposito di Algebra Lineare/Geometria nei quali sono richiamate tutte queste nozioni. Ad esempio, nel Crasta & Malusa queste robe ci sono e sono spiegate in maniera comprensibile.

Proprio quello che mi servirebbe, credo che lo acquisterò e comincerò a studiarci appena ho un po' di tempo libero, perché mi sembrano concetti troppo importanti per non conoscerli, soprattutto ora che sto studiando le funzioni in più variabili.
Gugo se lo trovi, potresti mandarmi l'indice del libro a cui ti riferisci? Vorrei capire se può fare al caso mio.

[gugo82]

L'indice online non lo trovo, né ho trovato qualche copia in formato elettronico.

Quello che posso fare è fotografare l'indice delle mie fotocopie del vol. 1:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Il vol. 2 non ce l'ho.