Criterio di derivabilità

[HowardRoark]

Stavo ripassando alcuni teoremi relativi alle derivate e non mi è chiarissimo il criterio di derivabilità (quello che non usa il limite del rapporto incrementale per stabilire la dericabilità della funzione in un punto $x_0$).
In particolare, il criterio dice che:
1) se $f(x)$ è continua in $[a,b]$;
2) derivabile in $(a,b)$ a eccezione al più di un punto $x_0 in (a,b)$
3) risulta $lim_(x->x_0^-) f'(x) = lim_(x->x_0^+) f'(x) = l$,
allora la funzione è derivabile in $x_0$ e risulta $f'(x_0) = l$.

Applicando il teorema alla seguente funzione:

$f(x) = \{(2+e^-x, x>=0), (3+x^2, x<0) :}$
In effetti risulta $lim_(x->0^+) f'(x) = -1 != lim_(x->0^-) f'(x) = 0$, quindi la funzione non è derivabile in $0$. In particolare viene a mancare la terza ipotesi del teorema.

Se però considero:

$f(x) = \{(x^2sen(1/x), x!=0), (0, x=0) :}$, se voglio studiare la derivabilità in $x_0=0$ applicando la definizione di derivata ottengo:

$ lim_(h->0) (f(0+h) - f(0))/h = lim_(h->0) (h^2sen(1/h))/h = 0$.
Quindi la funzione in $0$ è derivabile (ha derivata nulla).
Calcolo $f'(x)$ per provare a capire la derivabilità della funzione in $0$ col criterio di sopra:
$f'(x) = 2xsen(1/x) -cos(1/x)$. $lim_(x->0) f'(x)$ non esiste. Come nel primo caso, il limite della derivata in $x_0$ non esiste, tuttavia nel caso di sopra la funzione non era derivabile in quel punto mentre qui lo è.
Cosa non mi è chiaro di questo criterio di derivabilità?

[HowardRoark]

Forse tra le ipotesi del teorema c'è anche quella che esistono $f'_(-) (x_0)$ e $f'_(+)(x_0)$, altrimenti il teorema non si applica. Nel primo esempio che ho fatto $f'_(-) (0)$ e $f'_(+) (0)$ esistevano ed erano diversi tra loro, nel secondo non esistono proprio.
Ovviamente se vi va fatemi sapere se questo ragionamento è corretto, vorrei risolvere questo dubbio.

[Martino]

risulta $lim_(x->0^+) f'(x) = -1 != lim_(x->0^-) f'(x) = 0$, quindi la funzione non è derivabile in $0$

Questa deduzione che hai fatto è logicamente sbagliata (la deduzione, non il fatto che f non è derivabile), nel senso che se sai che "se X allora Y" non puoi dedurre che "se non X allora non Y". In altre parole se il criterio di derivabilità non è verificato, non puoi dedurre che la funzione non è derivabile. Se il criterio non è verificato non puoi dedurre niente.

Nota bene: non sto dicendo che quella funzione è derivabile in $0$. Sto solo dicendo che per dimostrare che la tua $f$ non è derivabile in $0$ devi usare un'altra strategia, per esempio puoi usare la definizione di derivata.

[HowardRoark]

Quindi il criterio di derivabilità è una condizione sufficiente (e non necessaria) per stabilire la derivabilità di una funzione in un punto. Se è così allora è meno utile di quanto pensassi.
Comunque quell'esempio l'ho tratto dal corso di matematica che ho seguito l'anno scorso, e la prof che lo teneva ha dedotto la non derivabilità di quella funzione proprio da quel risultato. Forse se non si considerano le funzioni trigonometriche (noi non le abbiamo trattate, siccome studio economia e a quanto pare servono relativamente a poco per la nostra disciplina) quel risultato è anche una condizione necessaria per la derivabilità di una funzione in un punto.

[Martino]

la prof che lo teneva ha dedotto la non derivabilità di quella funzione proprio da quel risultato.

La prof ha ragione perché, se i limiti della derivata di $f$ in un punto esistono e sono diversi, allora $f$ non è derivabile in quel punto (assumendo che $f$ sia derivabile in un intorno del punto eccettuato eventualmente tale punto). Cioè la prof stava usando un altro teorema, che era un criterio di non derivabilità. Tu invece stai cercando di applicare un criterio di derivabilità.

[HowardRoark]

risulta $lim_(x->0^+) f'(x) = -1 != lim_(x->0^-) f'(x) = 0$, quindi la funzione non è derivabile in $0$

Questa deduzione che hai fatto è logicamente sbagliata (la deduzione, non il fatto che f non è derivabile), nel senso che se sai che "se X allora Y" non puoi dedurre che "se non X allora non Y". In altre parole se il criterio di derivabilità non è verificato, non puoi dedurre che la funzione non è derivabile. Se il criterio non è verificato non puoi dedurre niente.

Mi sto perdendo qualcosa. Ma allora perché la mia deduzione è sbagliata? I limiti sinistro e destro della derivata, per $x->0$, sono diversi, quindi la funzione non è derivabile in quel punto.
Non riesco inoltre a capire la differenza tra criterio di derivabilità e criterio di non derivabilità. Per me sono la stessa cosa, cioè il mio obiettivo è sempre quello di capire la derivabilità di una funzione in un punto, non mi sto riferendo a due cose diverse.

[Martino]

Il tuo è un criterio di derivabilità, ti dà (come hai detto) condizioni solo sufficienti per la derivabilità. Se le condizioni non sono verificate, il tuo criterio non è applicabile. Penso che questo ti sia chiaro. Un esempio di questo fenomeno è appunto dato dal controesempio che hai indicato (quello con $sin(1/x)$).

Un criterio di non derivabilità ti dà condizioni sufficienti per la non derivabilità. Come sopra, se le condizioni non sono soddisfatte non puoi applicare il criterio.

Esempio semplice. "Una funzione non continua è non derivabile". Questo è un criterio di non derivabilità. Ma non si può utilizzare come criterio di derivabilità (se togli i due "non" la frase diventa falsa).

[HowardRoark]

Ok, adesso mi è più chiaro. Però le ipotesi del teorema della prof mi sembrano le stesse di quelle del criterio di derivabilità che ho riportato qui, è possibile?

[Martino]

Le stesse? A me sembrano una il contrario dell'altra.

[HowardRoark]

Ora che ho gli appunti sotto mano ho capito perché ho fatto confusione: la prof ha enunciato lo stesso criterio di derivabilità che ho riportato qui (quindi non un criterio di non derivabilità) e da quello ha dedotto la non derivabilità della funzione in $0$. Te lo riporto così come ce l'ho scritto negli appunti:
Sia $f$ continua in $(a,b)$ e derivabile in $(a,b)$ tranne al più in un punto $x_0$, con $x_0 in (a,b)$.
Esistono inoltre i seguenti limiti:

$lim_(x->x_0^+) f'(x) = lim_(x->x_0^+) (f(x)-f(x_0))/(x-x_0) = f'_(+)(x_0)$
$lim_(x->x_0^-)f'(x) = lim_(x->x_0^-) (f(x)-f(x_0))/(x-x_0) = f'_(-) (x_0)$

$f$ è derivabile in $x_0 <=> f'_(+)(x_0)=f'_(-)(x_0)=l=f'(x_0)$

$f$ ha un punto angoloso in $x_0 <=> f'_(+) (x_0) = l !=f'_(-) (x_0) = m$.
$f$ ha un punto di flesso a tg verticale in $x_0<=>f'_(+)(x_0) = f'_(-)(x_0) = +-oo$
$f$ ha un punto di cuspide in $x_0 <=> f'_(+) (x_0) = +- oo$ e $f'_(-)(x_0) = -+oo$

Nel secondo esempio che ho riportato il limite di $f'(x)$ per $x->0$ non esisteva, ma se si ipotizza l'esistenza dei limiti destro e sinistro delle derivate per $x->x_0$ si hanno delle condizioni necessarie e sufficienti?