da pilloeffe » 04/03/2024, 22:28
Ciao m.e._liberti,
Direi così:
$\int \int_A (1+y-x)\text{d}x \text{d}y = \int_{-1}^0 [\int_{-1}^1 (1+y-x)\text{d}y] \text{d}x + \int_0^1 [\int_{-1}^{\sqrt{1-x^2}}(1+y-x) \text{d}y] \text{d}x $
ove $ A={(x, y) \in \RR^2 : arcsinx+arcsiny \le \pi/2} $
Questo perché riscrivendo la disequazione in $A$ nella forma $arcsiny \le \pi/2 - arcsin x $, si hanno due possibilità:
1) se $x$ è negativa, cioè se $- 1 \le x < 0 $, anche $arcsinx < 0 $, e la disuguaglianza è automaticamente soddisfatta perché $arcsiny \le \pi/2 $, sicché per $- 1 \le x < 0 $ si ha $- 1 \le y \le 1 $;
2) se $x$ è positiva o nulla, cioè se $0 \le x \le 1 $, allora il primo membro ed il secondo membro sono all'interno dell'intervallo $[- \pi/2, pi/2]$ dove il seno è crescente, sicché applicandolo ai due membri della disequazione si ottiene:
$ y \le sin(\pi/2 - arcsinx) = cos(arcsinx) = \sqrt{1-x^2} $
Quindi per $0 \le x \le 1 $ si ha $- 1 \le y \le \sqrt{1-x^2} $