Integrale doppio

[m.e._liberti]

Sia $A={arcsinx+arcsiny<=pi/2}$. Calcola $\int int (1+y-x) dxdy$ in A.

Allora, l'arcoseno limita x e y tra $-1$ e $1$ con codominio tra $-pi/2$ e $pi/2$. Dal dominio si ricava $y<=sqrt(1-x^2)$. Non sono sicura degli estremi di integrazione. La y dovrebbe essere compresa tra $-1$ e $sqrt(1-x^2)$? x invece tra $-1$ e $1$?

[pilloeffe]

Ciao m.e._liberti,

Direi così:

$\int \int_A (1+y-x)\text{d}x \text{d}y = \int_{-1}^0 [\int_{-1}^1 (1+y-x)\text{d}y] \text{d}x + \int_0^1 [\int_{-1}^{\sqrt{1-x^2}}(1+y-x) \text{d}y] \text{d}x $

ove $ A={(x, y) \in \RR^2 : arcsinx+arcsiny \le \pi/2} $

Questo perché riscrivendo la disequazione in $A$ nella forma $arcsiny \le \pi/2 - arcsin x $, si hanno due possibilità:

1) se $x$ è negativa, cioè se $- 1 \le x < 0 $, anche $arcsinx < 0 $, e la disuguaglianza è automaticamente soddisfatta perché $arcsiny \le \pi/2 $, sicché per $- 1 \le x < 0 $ si ha $- 1 \le y \le 1 $;
2) se $x$ è positiva o nulla, cioè se $0 \le x \le 1 $, allora il primo membro ed il secondo membro sono all'interno dell'intervallo $[- \pi/2, pi/2]$ dove il seno è crescente, sicché applicandolo ai due membri della disequazione si ottiene:

$ y \le sin(\pi/2 - arcsinx) = cos(arcsinx) = \sqrt{1-x^2} $

Quindi per $0 \le x \le 1 $ si ha $- 1 \le y \le \sqrt{1-x^2} $

[m.e._liberti]

Grazie mille!!