Successione per ricorrenza non autonoma

[matteodima]

Ciao a tutti, cercando in rete mi sono imbattuto in questo esercizio che chiede determinare, se esiste, il limite della seguente successione per ricorrenza:
a_(n+1) = n - 3^(a_n)
a(1)=1
provando a calcolare i primi termini mi sembra di intuire che quelli di indice dispari siano tutti positivi mentre gli altri tutti negativi, e che le rispettive sottosuccessioni possano divergere, ma non riesco a dimostrarlo usando il principio d'induzione. Avete qualche idea?
Grazie in anticipo

[Quinzio]

L'esercizio chiede semplicemente se il limite c'e' o non c'e'.
Supponiamo che esista tale limite $L$.
Allora deve verificarsi che se
$a_n = L$ allora anche
$a_{n+1} = L$
$a_{n+2} = L$
ecc..

ma in generale
$a_{n+1} = n-3^L \ne L$,
quindi il limite non esiste.

Determinare il carattere della successione (quello che chiedevi tu) non e' semplice, effettivamente e una dimostrazione "pulita" non c'e'.
Si puo' dire che al tendere di $n -> \infty$, prendiamo $n$ molto grande e in genere si possono assumere queste due situazioni:
\( n \gg 3^{a_n} \) oppure
\( n \ll 3^{a_n} \)

Prendiamo il primo caso, e avremo
\( a_{n+1} = n-3^{a_n} \approx n \)
poi (cadiamo nel secondo caso)
\( a_{n+2} = n+1-3^{a_{n+1}} \approx -3^n \)
e poi (torniamo al primo caso)
\( a_{n+3} = n+2-3^{a_{n+2}} \approx n \)
(l'ultimo passaggio e' giustificato dal fatto che l'esponente e' molto negativo).

Quindi in definitiva la successione avanza a coppie come $..., (n), (-3^n), (n+1), (-3^{n+1}), ...$ (valori approssimati)