Si supponga che $lim_(n->+oo) x_n$ sia una successione di numeri reali convergenti al limite $x_0 !=0$ e che i termini $x_n$ siano diversi da $0$ per ogni $n$.
Dimostrare che esiste $B>0$ tale che $|x_n|>=B$ per ogni $n$.
Vi scrivo un pezzo della mia dimostrazione.
Suppongo $x_0>0$. Per il teorema della permanenza del segno, esiste un intorno di infinito, $(M,+oo)$ in cui la successione è sempre positiva.
Considero quindi $B=x_0/2$; per $x$ sufficientemente vicino a $x_0$, ho che $x_0/2=B<x_n$, e quindi questo caso è dimostrato.
Però la proposizione dice che per ogni $n$ riesco a trovare un $B$ tale che $|x_n|>=B$, quindi devo dimostrare che esiste questo $B$ anche per $x notin (M,+oo)$.
Mi dareste un input così che capisca come procedere?