Ciao GiovanniB03.
Benvenuto sul forum!
Ti chiederei però la cortesia di non postare immagini sul forum, che è vietato da regolamento perché i siti che ospitano le immagini prima o poi le eliminano e questo rende il post illeggibile per gli altri utenti del forum. Sostituisci l'immagine con la scrittura delle formule come indicato
qui. Considerando che è il tuo primo post per stavolta ti aiuto io.
Detto questo la strada che hai pensato per il primo limite è corretta e se non ho fatto male i conti si ha:
$ \lim_{x \to 0} (arctan(ax) sin(bx) - abx^2)/(ln((cos x)^2))^2 = - 1/6 a b (2 a^2 + b^2) $
- Codice:
$ \lim_{x \to 0} (arctan(ax) sin(bx) - abx^2)/(ln((cos x)^2))^2 = - 1/6 a b (2 a^2 + b^2) $
Per il denominatore ricorda che $cos^2 x = 1 - sin^2 x $
Per il limite in 3)
$ \lim_{x \to -\infty} (\sqrt(x^2+ax) -\root[3]{x^3+bx^2} +2x)/((\root[4](x^2+bx) -\sqrt (-x))\sqrt(|x|)) $
- Codice:
$ \lim_{x \to -\infty} (\sqrt(x^2+ax) -\root[3]{x^3+bx^2} +2x)/((\root[4](x^2+bx) -\sqrt (-x))\sqrt(|x|)) $
avrei proceduto come ti ha già scritto Quinzio, salvo che nel finale avrei usato il limite notevole
$\lim_{t \to 0} ((1 + t)^p - 1)/t = p \in \RR $, sicché si ha:
$ \lim_{x \to +\infty} (\sqrt(1 - a/x) +\root[3]{1 - b/x} -2)/(\root[4](1 - b/x) -1) = \lim_{x \to +\infty} (\sqrt(1 - a/x) - 1 +\root[3]{1 - b/x} - 1)/(\root[4](1 - b/x) -1) = $
$ = \lim_{x \to +\infty} (-a/x (\sqrt(1 - a/x) - 1)/(-a/x) - b/x(\root[3]{1 - b/x} - 1)/(-b/x))/(-b/x(\root[4](1 - b/x) -1)/(-b/x)) = \lim_{x \to +\infty} (-a (\sqrt(1 - a/x) - 1)/(-a/x) - b(\root[3]{1 - b/x} - 1)/(-b/x))/(-b(\root[4](1 - b/x) -1)/(-b/x)) = $
$ = (- 1/2 a - 1/3 b)/(- 1/4 b) = 2 a/b + 4/3 $