Esercizi su insiemi

[Quasar3.14]

Ciao a tutti,

potreste darmi un parere, per favore, circa lo svolgimento di questi esercizi su operazioni tra insiemi, estremi inferiori e superiori ecc?

Nel primo esercizio mi si chiede di trovare la cardinalità di $AnnZZ$ e $BnnZZ$, oltre che a min, max, estremo suepriore ed inferiore di A e B.

$A={x in RR| sqrt(2-x^2)>=x}$ $B={x in RR| (x^2-x)/(x-2)>0}$

Ho svolto le disequazioni e le soluzioni trovate $A=[-sqrt2, 1]$ e $B=(0,1) U (2, +infty)$

Est inf (A) = min = $-sqrt2$
est sup (A) = max = 1

est inf (B) = 0. Il minimo di B non esiste
est sup (B) = + inf Il massimo di B non esiste.

$AnnZZ$ ha cardinalità 1 in quanto è formato da $AnnZZ = {-1}$ mentre $BnnZZ$ penso che abbia cardinalità infinita considerando che $B=(0,1) U (2, +infty)$, è corretto?

Secondo esercizio. $A={(n+1)/(n+2); n in NN}$

Ho sostituito n con diversi numeri, via via sempre più grandi.
Il minimo dell'insieme è $1/2$ e i suoi minoranti sono quindi tutti i numeri $<=1/2$. L'estremo superiore è 1, quindi i maggioranti sono tutti i numeri $>= 1$. Il massimo non esiste. È corretto?

Terzo esercizio. Dati due insiemi $ A={(n+1)/(n-1); n in NN}$ e $B={(2n+3)/(n-1); n in NN}$ stabilire unione e intersezione tra i due. Questo esercizio, a dire il vero, non mi è ben chiaro come procedere non essendoci una disequazione non ho un intervallo dei valori. Come posso stabile l'unione e l'intersezione?

Grazie

[pilloeffe]

Ciao Quasar3.14,

$ A \nn ZZ $ ha cardinalità 1 in quanto è formato da $ A \nn \ZZ = {-1}$

Scusa, ma se $A$ è quello che

$ A=[-\sqrt2, 1] $

allora $ A \nn \ZZ = {-1, 0, 1}$

Per il secondo esercizio immagino che sia $\NN := {0, 1, 2, 3,...} $: se la convenzione è diversa devi specificarlo.

Per il terzo esercizio invece osserva che per $n = 1 $ c'è qualche problemino, quindi quel valore di $\NN $ va escluso; magari è $\NN_{\ge 2} $, ma questo io non posso saperlo...

non essendoci una disequazione non ho un intervallo dei valori.

Te le puoi creare le disequazioni:

$(n + 1)/(n - 1) = (n - 1 + 2)/(n - 1) = 1 + 2/(n - 1) \implies 1 < (n + 1)/(n - 1) \le 3 $

se supponiamo che $2/(n - 1) > 0 $, cioè $n \ge 2 $;

$ (2n+3)/(n-1) = (2n - 2 + 5)/(n - 1) = 2 + 5/(n - 1) \implies 2 < (2n+3)/(n-1) \le 7 $

se supponiamo che $5/(n - 1) > 0 $, cioè $n \ge 2 $

[Quasar3.14]

Ciao Quasar3.14,

$ A \nn ZZ $ ha cardinalità 1 in quanto è formato da $ A \nn \ZZ = {-1}$

Scusa, ma se $A$ è quello che

$ A=[-\sqrt2, 1] $

allora $ A \nn \ZZ = {-1, 0, 1}$

Per il secondo esercizio immagino che sia $\NN := {0, 1, 2, 3,...} $: se la convenzione è diversa devi specificarlo.

Per il terzo esercizio invece osserva che per $n = 1 $ c'è qualche problemino, quindi quel valore di $\NN $ va escluso; magari è $\NN_{\ge 2} $, ma questo io non posso saperlo...

non essendoci una disequazione non ho un intervallo dei valori.

Te le puoi creare le disequazioni:

$(n + 1)/(n - 1) = (n - 1 + 2)/(n - 1) = 1 + 2/(n - 1) \implies 1 < (n + 1)/(n - 1) \le 3 $

se supponiamo che $2/(n - 1) > 0 $, cioè $n \ge 2 $;

$ (2n+3)/(n-1) = (2n - 2 + 5)/(n - 1) = 2 + 5/(n - 1) \implies 2 < (2n+3)/(n-1) \le 7 $

se supponiamo che $5/(n - 1) > 0 $, cioè $n \ge 2 $

Grazie mille pilloeffe per il tuo aiuto e per le tue spiegazioni.

Nel primo esercizio, si mi sono distratto e mi sono perso lo $ {0, 1}$ ne consegue che l'intersezione ha cardinalità 3 $ A \nn \ZZ = {-1, 0, 1}$ Per $ B nn ZZ$ presumo sia giusta che la cardinalità sia infinita, corretto?

Per il secondo esercizio, la traccia non specifica se $NN$ abbia o meno lo zero, tendenzialmente tendo ad inserirlo nell'insieme, da li i risultati ottenuti ma, come mi hai fatto notare, devo comunque specificarlo.

Per il terzo esercizio, avevo notato che n deve essere diverso da 1, ma l'esercizio non specifica che deve essere $n>=2$, penso che comunque debba specificarlo io durante lo svolgimento. Mi è chiaro come riscrivi di volta in volta la frazione ma, scusami, non capisco l'ultimo passaggio. Per esempio, quale calcolo fai per passare da $1 + 2/(n - 1) \implies 1 < (n + 1)/(n - 1) \le 3$ ?

Grazie ancora per l'aiuto!

[pilloeffe]

Grazie mille pilloeffe per il tuo aiuto e per le tue spiegazioni.

Prego.

Per $B \nn \ZZ$ presumo sia giusta che la cardinalità sia infinita, corretto?

Corretto.

quale calcolo fai per passare da $ 1 + 2/(n - 1) \implies 1 < (n + 1)/(n - 1) \le 3 $

Beh, è facile: una volta stabilito che $(n + 1)/(n - 1) = 1 + 2/(n - 1) $ si vede che la frazione iniziale è sempre $1 $ più qualcosa di positivo, quindi è senz'altro maggiore di $1$; per $n = 2 $ la frazione assume il valore $3$ che è il massimo valore che può assumere, perché poi per $n > 2$ si ha $2n > 4 \iff 2n - 2 > 2 \iff 2/(n - 1) < 2 $

Ti chiederei la cortesia di non rispondere ai post col pulsante "CITA, ma col pulsante RISPONDI che trovi in fondo alla pagina. Questo perché raramente è necessario citare tutto il messaggio di chi ti ha risposto ed anzi così facendo si appesantisce inutilmente la lettura del thread. Comunque tranquillo, all'inizio della frequentazione del forum ci siamo cascati tutti, sottoscritto incluso...

[Quasar3.14]

Adesso è tutto chiaro, grazie mille per l'aiuto!