L’area di un dominio ed equazione del piano tangente in un punto di una superficie

[m.e._liberti]

Sia data la curva $\gamma(t)=(2cost+cos^3t-sin^2tcost, 2sint+sintcos^2t-sin^3t)$ con $t$ tra $0$ e $2\pi$.
a) Determina l'area A dell'insieme limitato $D$ di $R^2$: $tr(\gamma)=\partialD$.
b) Sia $\phi$ la superficie che si ottiene dalla rotazione della curva $\gamma$ attorno all'asse x. Stabilire se il punto $P=(sqrt2, 1, 1)$ appartiene a $\phi$ ed, in caso affermativo, scrivere l'equazione del piano tangente in tale punto.

Poiché la curva è regolare dato che è di classe infinito, ho calcolato l'area come $-\intydx$ ma il risultato ottenuto è zero... è possibile?
Non riesco invece per niente ad approcciare al secondo punto. Come ricavo le equazioni parametriche della superficie a partire dalla curva?

[Quinzio]

Sia data la curva $\gamma(t)=(2cost+cos^3t-sin^2tcost, 2sint+sintcos^2t-sin^3t)$ con $t$ tra $0$ e $2\pi$.
a) Determina l'area A dell'insieme limitato $D$ di $R^2$: $tr(\gamma)=\partialD$.
b) Sia $\phi$ la superficie che si ottiene dalla rotazione della curva $\gamma$ attorno all'asse x. Stabilire se il punto $P=(sqrt2, 1, 1)$ appartiene a $\phi$ ed, in caso affermativo, scrivere l'equazione del piano tangente in tale punto.

Poiché la curva è regolare dato che è di classe infinito, ho calcolato l'area come $-\intydx$ ma il risultato ottenuto è zero... è possibile?
Non riesco invece per niente ad approcciare al secondo punto. Come ricavo le equazioni parametriche della superficie a partire dalla curva?

....

Per il secondo punto, quando hai una curva $\gamma(t) = (a(t),b(t))$ e vuoi ottenere la superficie di rotazione sull'asse $x$, introduci un nuovo angolo $\phi$ e fai cosi': $\gamma(t) = (a(t),b(t) \sin \phi , b(t)\cos \phi )$

[pilloeffe]

Ciao m.e.liberti,

[...] il risultato ottenuto è zero... è possibile?

No, infatti la curva è questa:
https://www.wolframalpha.com/input?i=%282cost%2Bcos%5E3t-sin%5E2tcost%2C+2sint%2Bsintcos%5E2t-sin%5E3t%29

Si può osservare però che si ha:

$\gamma(t) = (x(t), y(t)) = (2cost+cos^3t-sin^2tcost, 2sint+sintcos^2t-sin^3t) = (\rho(t) cos t, \rho(t) sin t) $ ove $\rho(t) = 2 + 1 - 2sin^2 t = 3 - 2sin^2 t $ quindi se non ho fatto male i conti l'area è la seguente:

$A = 1/2 \int_0^{2\pi} \rho^2(t) \text{d}t = 1/2 \int_0^{2\pi} [3 - 2 sin^2 t]^2 \text{d}t = 1/2 \int_0^{2\pi} [3(sin^2 t + cos^2 t) - 2 sin^2 t]^2 \text{d}t = $
$ = 1/2 \int_0^{2\pi} [sin^2 t + 3 cos^2 t]^2 \text{d}t = 1/2 \int_0^{2\pi} [1 + 2 cos^2 t]^2 \text{d}t = ... = (9 \pi)/2 $

[m.e._liberti]

ringrazio entrambi

Per il secondo punto, quando hai una curva $ \gamma(t) = (a(t),b(t)) $ e vuoi ottenere la superficie di rotazione sull'asse $ x $, introduci un nuovo angolo $ \phi $ e fai cosi': $ \gamma(t) = (a(t),b(t) \sin \phi , b(t)\cos \phi )$

Quinzio, vorrei invece chiederti una cosa a questo proposito. L'angolo $ \phi $ tra quanto devo farlo variare? Tra $0$ e $\pi/2$ o tra $0$ e $2\pi$?

[Quinzio]

Da $0$ a $2 \pi$.

[m.e._liberti]

Da $0$ a $2 \pi$.

Okay... però non riesco a far vedere che quel punto appartiene alla superficie. Mi puoi dare qualche altro suggerimento?

[pilloeffe]

però non riesco a far vedere che quel punto appartiene alla superficie.

Se non ho fatto male i conti è vero per $ t = \phi = \pi/4 $

[Quinzio]

Innanzitutto devi fare in modo che

$2cost+cos^3t-sin^2tcost = sqrt2 $.
E' un equazione cubica, per cui non e' facile da risolvere manualmente.
Siccome e' un esercizio di scuola, si presume che abbiano pensato a un valore "facile" da trovare.
Prova con i soliti valori $0, \pi/6, \pi/4, \pi/3, \pi/2, ...$ ecc.. vedrai che lo trovi.
Una volta che hai $t$, e' facile anche trovare $\phi$

[m.e._liberti]

Grazie ragazziii

[pilloeffe]

Grazie a te per il "ragazzi": non so Quinzio, ma io non sono più un ragazzo da un bel po', anche se dicono che me li porto bene...