Dubbio su elemento di superficie

[Pappaguro]

Ho una superficie generata dalla rotazione rispetto all'asse z di un segmento di estremi (2,0) e (1,2).
Devo calcolare l'elemento di superficie dS.

Ho notato che a seconda della direzione in cui percorriamo il segmento , cambia la sua parametrizzazione e con essa anche la parametrizzazione della superficie generata.
Da (2,0) ad (1,2) ho: r(t)=(2-t,0,2t) con t in [0,1]
ed ho Sigma(t,theta)=((2-t)cos theta, (2-t) sin theta , 2t) con t in [0,1] e theta in [0,2pi]
Invece ,
Da (1,2) a (2,0) ho: r(t)=(1+t,0,2-2t) con t in [0,1]
ed ho Sigma(t,theta)=((1+t)cos theta, (1+t) sin theta , 2-2t) con t in [0,1] e theta in [0,2pi]

Ora . per calcolare l'elemento di area dS il Bramanti mi fornisce la seguente formula:

dS = |x(t)| sqrt([ x'(t)]^2+[z'(t)]^2)dtdtheta

dove |x(t)| è la distanza dal segmento di curva all’asse di rotazione
sqrt([ x'(t)]^2+[z'(t)]^2)dt è la lunghezza del segmento di curva infinitesimale lungo la curva generatrice della superficie di rotazione.

Applicandola nei due casi ho ottenuto:
dS1 = (2-t) sqrt(5) dtdtheta
dS2 =(1+t) sqrt(5) dtdtheta

Problema:
<<la direzione del segmento non influisce sull’elemento di superficie dS. L’elemento di superficie dS dipende dalla forma della superficie, non dalla direzione in cui viene percorsa.>>

Quindi teoricamente avrei dovuto ottenere che dS1=dS2.

Vi chiedo: dov'è che sbaglio?

[Quinzio]

Non c'e' nessun errore.
Devi semplicemente distinguere le due variabili $t$.
La prima $t$ va a 0 a 1.
La seconda $t$ va da 1 a 0.

Se usi due variabili diverse e consideri che $\tau = 1-t$, diventano la stessa cosa.

$dS_1 = (2-\tau) sqrt(5)\ dt\ d\theta$
$dS_2 =(1+t) sqrt(5)\ dt\ d\theta$

[Pappaguro]

Devi semplicemente distinguere le due variabili t.

Giusto!
Perché essendo definite su Intervalli diversi non sto considerando la stessa variabile.


Grazie mille Quinzio!