Ciao a tutti,
ho una domanda stupida da chiedere a qualcuno perché non ho capito una notazione: quella di $C^oo$ per funzioni tipo $R^n -> R^m$ più che altro solo per essere generico ma anche $R^n -> R$.
Insomma il dubbio:
leggo su internet che la funzione si dice $C^k$ se è derivabile k volte con continuità (cioè ho tutte le k derivate continue).
Tuttavia sto studiando le funzioni $R^n -> R$ e so che derivabilità non implica differenziabilità e nemmeno continuità. D'altra parte continuità non implica derivabilità ma ho che differenziabilità implica il resto (continuità e derivabilità). Con derivabilità intendo derivate direzionali in tutte le direzioni.
Benissimo, ciò detto, il mio prof usa $C^oo$ per intendere le differenziabili ma a me pare sbagliato perché come detto se C infinito vuol dire infinite derivate continue mica è detto sia differenziabile.
Al massimo se ho che la funzione è $C^oo$ in un punto $(x_0,y_0)$ posso dire che è differenziabile in un singolo punto per il teorema del differenziale totale (forse lui riporta questo ragionamento per ogni punto quindi l'intera funzione derivabile e continua in tutti i punti è differenziabile? non mi è chiaro). Però è puntuale, non su tutto il dominio, no?
Tuttavia anche su wikipedia leggevo per curisoita una voce "diffeomerfismo" e dice che è la biiezione per cui ho funzione differenziabile einversa differenziabile. E in altri testi leggo che se è biiezione $C^oo$ cosi come la sua inversa. Il che testimonia che pare differenziabilità sia legato a questa classe c-infinito (differenziabile=$C^oo$).
Insomma sono confuso. Potreste aiutarmi con le domande sopra esposte? grazie mille