Insiemi contigui

[Quasar3.14]

Ciao a tutti,

potreste dirmi se questo esercizio è svolto correttamente, per favore?

Ho un insieme $A$ costituito da un solo numero $<= 0$
Ed un insieme $B = {n in N | n/ (n^2 + 4)}$

Mi viene chiesto di determinare il solo numero dell'insieme $A$ affinchè i due insiemi siano contigui.

$ N= {0,1,2,3...}$.

Di conseguenza sostituendo 0 ad n nell'insieme B ottengo l'estremo inferiore e il minimo di B. Poichè A è costituito da un solo elemento e questo può essere $= 0$, quest'ultimo è anche l'estremo superiore di A (oltre ad essere minimo, massimo ed estremo inferiore dello stesso A).

È corretto?

Grazie

[pilloeffe]

Ciao Quasar3.14,

Mi pare corretto, anche se per la contiguità dei due insiemi A e B avrei detto che $0$ è estremo superiore e massimo di A oltre ad essere estremo inferiore e minimo di B.

[gugo82]

Il punto è argomentare sul perché sostituendo $0$ ottieni l'estremo inferiore e minimo di $B$.

Prova a meditare su cosa succede se consideri $NN\setminus \{ 0\}$ al posto di $NN$ nella definizione di $B$: cambia qualcosa?

[Quasar3.14]

Grazie ragazzi per l'aiuto.

Ok, cercherò di argomentare in maniera più approfondita.

$A$ è costituito da un solo elemento, quindi qualsiasi elemento scelgo rappresenterà sempre il suo minimo, massimo, estremo inferiore e superiore.

Se $N={1,2,3,...}$ e quindi $0 notin N$ ottengo un insieme $B$ in cui l'estremo inferiore è $0$, il $min(B)$ non esiste ed il $max(A)$ ed il suo estremo superiore è $1/4$ dato da $n=2$

Anche in questo caso l'elemento separatore è $0$ che rappresenta l'estremo superiore e massimo di $A$ e l'estremo inferiore di $B$, la differenza rispetto a prima, è che questa volta $0 notin B$

[gugo82]

Ok, cercherò di argomentare in maniera più approfondita.

Bello questo proposito!

Peccato che sia disatteso due righe sotto:

Se $N={1,2,3,...}$ e quindi $0 notin N$ ottengo un insieme $B$ in cui l'estremo inferiore è $0$, il $min(B)$ non esiste ed il $max(A)$ ed il suo estremo superiore è $1/4$ dato da $n=2$

in cui non argomenti nulla.

[Quasar3.14]

Scusami gugo82, pensavo che fosse sufficiente il mio messaggio precedente in cui scrivo il valore dato ad n per trovare l'estremo superiore e la differenza rispetto a se 0 appartiene o meno ad $NN$
Nel tuo primo messaggio, domandi perchè sostituendo lo $0$ ad $n$ ottengo l'estremo inferiore e il minimo, ma l'unica argomentazione che mi viene in mente è che essendo una frazione, in cui l'unica operazione è presente al denominatore ed è una somma con un numero positivo, e poichè $n in NN$ e $0<$ di qualsiasi n ne consegue che non può che essere 0 il minimo.

Nel caso in cui 0 non appartiene all'insieme $NN$ la differenza sostanziale rispetto a prima è che 0 non è più il minimo dell'insieme B in quanto al crescere dei valori avremo numeri sempre più piccoli in quanto al denominatore abbiamo $n^2$ ed $n^2 > n$ ma nonostante ciò non arriveremo mai a $0$ che quindi rappresenta l'estremo inferiore dell'insieme. Poichè con valori di n sempre più grandi avremo valori della frazione sempre più piccoli si può dire che l'estremo superiore è $1/4$ dato da $n=2$

Non mi è chiaro se mi chiedevi un argomentazione simile o se manca ancora qualcosa.

Grazie per l'aiuto.