Composizione di funzioni

[kaiz]

Ciao, ho un dubbio come da titolo per un esempio fatto dal prof.

La situazione è la seguente:
siano le funzioni
$phi(u,v):(u,v)->(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$
e
$p(x,y):(x,y)->(u(x,y),v(x,y))$

dice che componendole trovo: $phi(x, y) = (x, y, z(x, y))$

Le mie domande sono di base, due:

1) mi confonde il seguente ragionamento, io so dalla prima che x dipende da u e v, e y anche, cioe: $ x(u,v),y(u,v)$ quindi potrei scrivere che $p(x(u,v),y(u,v))$, cioè $(x,y)->(u(x(u,v),y(u,v)),z(x(u,v),y(u,v)))$

quindi quando compongo come primo termine (ma per gli altri similmente) mi troverei ad avere $psi=((x(u(x(u,v))),....,...)=(x(u,v),....,...)$ isomma ho di nuovo x(u,v) e quindi comunque una $psi(u,v)$ dato che la dipendenza da u,v c'è per x e y. Quindi cosa ho ricavato? Un bel nulla. [mi sembra un loop]

2) Mettiamo di aver capito il punto 1) e quindi di seguire il ragionamento del prof, la seconda domanda è sul punto in cui ricavo $phi(x, y) = (x, y, z(x, y))$ io di fatto avrei dopo la composizione: $phi(x, y) = (x, y, z(u(x,y),v(x,y)))$.
Analizziamo: $z(u(x,y),v(x,y)))=z(x, y)$, ecco, come faccio a dimostrare che se ho una funzione z che dipende da u(x,y) e v(x,y) separatamente, è uguale a una funzione f(x,y)? Voglio dire: io ho qualcosa (e quel qualcosa sono u e v) che dipendono separatamente nei due "Input" della funzione z sia da x e y: z(u,v); poi mi riduco ad avere una funzione con due input che dipendono solo da x e y: z(x,y). Tuttavia a me sembra di avere z(.,.) con primo ingresso che dipende da x e y assieme e secondo che dipende da x e y dato che u dipende da entrambi così come v.

[pilloeffe]

Ciao kaiz,

Benvenuto sul forum!

C'è qualcosa che non mi torna, perché nella composizione di funzioni l'insieme $Y $ deve essere lo stesso: puoi dare un'occhiata ad esempio qui https://it.wikipedia.org/wiki/Composizione_di_funzioni od anche alla versione in inglese qui: https://en.wikipedia.org/wiki/Function_composition

[kaiz]

Ciao, sai che non ho capito la tua obiezione?
Forse mi sono spiegato male ma intendevo comporre $phi(p(x,y))$ a me sembra che l'insieme $Y:=R^2$ da cui pesco (u,v) sia in effetti lo stesso. no?

[pilloeffe]

a me sembra che l'insieme $Y := \RR^2 $ da cui pesco (u,v) sia in effetti lo stesso. no?

Beh, si ha:

$\phi : Y = \RR^2 \rightarrow Z = \RR^3 $

$p: X = \RR^2 \rightarrow Y = \RR^2 $

Solo che tu nell'insieme $Y $ di $p$ hai la coppia $(u(x,y),z(x,y)) $ (invece della coppia u, v) poi in $Z = \RR^3 $ hai richiamato di nuovo le variabili con $x$, $y$ e $z$...

[kaiz]

L'avevo riletto ma non mi ero accorto del typo. Le mie domande si rifanno alla versione che ho corretto: avevo scritto z ma era v ovviamente

[kaiz]

Nessun aiuto ? Volevo capire questo dubbio

[pilloeffe]

Volevo capire questo dubbio

Ma qual è il dubbio? Non si capisce...
Cambiamo le lettere, così evitiamo il loop che hai menzionato e forse ti è più chiaro:

$ p(x, y): (x,y) \rightarrow (u(x, y), v(x, y)) $

$ \phi(u, v): (u,v) \rightarrow (X(u, v), Y(u, v), Z(u, v)) $

Quindi è chiaro che componendole troverai una funzione $\phi(x, y) = (x, y, Z(x, y)) $

[kaiz]

Ok iniziamo dal primo riservandoci di vedere il secondo dopo per non mettere troppa carne al fuoco.

1) mi confonde il seguente ragionamento, io so dalla prima che x dipende da u e v, e y anche, cioe: $ x(u,v),y(u,v)$ quindi potrei scrivere che $p(x(u,v),y(u,v))$, cioè $(x,y)->(u(x(u,v),y(u,v)),z(x(u,v),y(u,v)))$

quindi quando compongo come primo termine (ma per gli altri similmente) mi troverei ad avere $psi=((x(u(x(u,v))),....,...)=(x(u,v),....,...)$ isomma ho di nuovo x(u,v) e quindi comunque una $psi(u,v)$ dato che la dipendenza da u,v c'è per x e y. Quindi cosa ho ricavato? Un bel nulla. [mi sembra un loop]

Banalmente quello che mi confonde è questo:

io ho $ϕ(u,v):(u,v)→(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$ quindi so che x e y dipendono da u,v.
ho poi $p(x,y):(x,y)→(u(x,y),v(x,y))$.
Quando vado a comporle ho h dato da (ϕ composto p) che mi dà qualcosa che prende x,y e lo manda in h(x,y).
Il mio problema è qui, $h(x,y)=(x(u(x,y),v(x,y)),y(u(x,y),v(x,y)),z(u(x,y),v(x,y)))$ che sembra appunto dipendere solo da x,y però io so che a loro volta (ripetendo il discorso le x e y dipendono da u,v, e quindi mi pare che h dipenda da u,v e non da x,y). Perché chi mi dice che non posso ricomporre un altra volta? Cioè la dipendenza da x e y mi sembra fasulla perché sotto-sotto esse dipendono comunque da u e v. Le x,y non vivono da sole a sé stanti, esse escono come funzione di u e v in principio, non sono "variabili libere" ne dipendono da altre di base. Non so se mi spiego