Studio di un problema di Cauchy

[gugo82]

Cosa sai dire della tua soluzione?
È continua? Derivabile? Quante volte?

Il seno è una funzione continua e di classe infinito, quindi derivabile infinite volte. Questo mi conferma l’asserto?

Tu che dici?

[pilloeffe]

@m.e._liberti:

La EDO ha soluzioni costanti? Se sì, quali?
Il grafico della tua soluzione massimale può intersecare quello delle soluzioni costanti?

Non hai risposto a queste domande di gugo82 che mi sembrano piuttosto importanti.
Si vede subito che la EDO proposta ha tutte le soluzioni costanti che annullano $sin y $, cioè del tipo $y = k\pi $ con $k \in \ZZ $; dato poi che $y(0) = a = -\pi/2 $, in effetti ci interessano le sole soluzioni costanti $y = 0 $ e $y = -\pi $ che non possono essere intersecate dal grafico della soluzione massimale, cosa che si può verificare anche sfruttando l'espressione esplicita che ti ho scritto:

$\lim_{x \to -\infty} y_{-\pi/2}(x) = - 2 \cdot \lim_{x \to -\infty} arctan(e^{\sqrt\pi/2 \text{erf}(x)}) = - 2 \text{arccot}(e^{(\sqrt\pi)/2}) ~~ - 0,782 < 0 $

$\lim_{x \to +\infty} y_{-\pi/2}(x) = - 2 \cdot \lim_{x \to +\infty} arctan(e^{\sqrt\pi/2 \text{erf}(x)}) = - 2 \arctan(e^{(\sqrt\pi)/2}) ~~ - 2,36 > - \pi $

Dato che la soluzione $y_{-\pi/2}(x) $ è continua e definita su tutto $\RR $ assume tutti i valori compresi fra i due limiti scritti ed in particolare certamente è limitata dalle due soluzioni costanti menzionate: $-\pi < y_{-\pi/2}(x) < 0 $