Scusate se posto uno screenshot ma data la natura dell'esercizio non so come fare altrimenti.
Devo disegnare il grafico di $f(x)$ tenuto conto che quello della sua derivata è quello rappresentato in figura e che $f(0)=0$.
Poiché $f(0)=0$ e la sua derivata mi sembra una parabola con concavità verso il basso per $x<0$ e con concavità verso l'alto per $x>0$, credo che la funzione di partenza sia una cubica, con una definizione diversa in $(-oo, 0)$ e in $[0,+oo)$.E' crescente in $(-2,0)$ e in $(2,+oo)$ e decrescente altrove. Per determinare la concavità e la convessità della funzione mi basterebbe derivare la derivata della funzione, trovare i punti critici (dove $f''(x)=0$) e suddividere tutto $RR$ in $n+1$ intervalli, dove $n$ sono i punti critici. Per il teorema degli zeri in ognuno di tali intervalli $f''(x)$ avrà lo stesso segno, e quindi se in uno di questi $f''(x)$ è positiva posso dire che nello stesso intervallo $f(x)$ è convessa, altrimenti è concava. Questo per specificare come ho intenzione di procedere dopo essermi determinato l'espressione di quella derivata.
Come dicevo, se riuscissi a determinare l'espressione di quelle parabole in figura sarebbe semplice ma sto avendo qualche difficoltà in questo.
La parabola di sinistra è del tipo $y=ax^2+bx$, con $a<0$. Se impongo il passaggio per $(-2,0)$ ottengo $2b=-4a$. Ho pensato di sfruttare la simmetria della parabola, impostando anche quest'altra equazione: $-a(-3/2)^2 -3/2b = -a(-1/2)^2 - 1/2b => 2a+b=0$, che però è la stessa di prima. Se conoscessi l'ordinata del vertice sarebbe fatta ma così non ne vengo a capo.
Consigli?
