IntegraleDiSuperficie - Errore nel testo di un esercizio

[Pappaguro]

Testo: data la superficie di equazione $z(u,v)=sqrt(16-u^2-v^2),(u,v)inOmega$
con $Omega:={(u,v)inR^2|u<=0,v>=0, u^2+v^2<=16, u^2/4+v^2>=y}$

Calcolare: $int_S z(y-2x)dS$

Non mi torna quella y nel dominio della superficie.
Mi sarei aspettato un $u^2/4+v^2>=1$ e quindi una regione calcolata a partire da una curva: Ellisse.
Ma con nel caso di $u^2/4+v^2>=y$ credo ci sia un errore nel testo.

Confermate?

[pilloeffe]

Ciao Pappaguro,

Può anche essere che ci sia un errore, ma chi sono $x$ e $y$ ? Perché compaiono anche nella funzione integranda...
Non è che per caso $u = x $ e $v = y $ ?

[Pappaguro]

La superficie è parametrizzata da $r(u,v)=(u,v,sqrt(16-u^2-v^2)), (u,v)inOmega$
Quindi $y(u,v)=v$
Dunque posso sostituire $v$ ottenendo:
$u^2/4+v^2>=v$
Da cui:
- ricordando l'equazione della generica circonferenza $u^2+v^2+au+bv+c=0$ con Centro: $(-a/2,-b/2)$
e raggio: $r=1/2sqrt(a^2+b^2-4c)$
abbiamo che: $u^2+4v^2-4v=0$ è una circonferenza di Centro:$(0,1/2)$ e raggio: $1/2$
Ne consegue che: al variare della coppia $(u,v)$ in R2 , quella disequazione descrive
"la regione di piano esterna al cerchio, contorno incluso"



Però ha poco senso, perché non indicare direttamente $v$ ?

[pilloeffe]

Però ha poco senso

Secondo me invece ha poco senso parametrizzare con $u$ e $v$, molto meglio tenersi $x$ e $y$:

$S = \int\int_{\Omega}z(y - 2x)\text{d}S = \int\int_{\Omega}(y - 2x) \sqrt{16 - x^2 - y^2}\sqrt{1 + ((del z)/(\del x))^2 + ((del z)/(\del y))^2} \text{d}x \text{d}y =$

$ = \int\int_{\Omega}(y - 2x) \sqrt{16 - x^2 - y^2}\sqrt{1 + x^2/(16 - x^2 - y^2) + y^2/(16 - x^2 - y^2)} \text{d}x \text{d}y =$

$ = 4 \int\int_{\Omega}(y - 2x) \text{d}x \text{d}y $

con $\Omega:={(x,y)\in \RR^2 | x \le 0, y \ge 0, x^2+y^2 \le 16, x^2/4+y^2 \ge y} $

[Pappaguro]

Il dominio che ottengo è: la porzione del II quadrante che è "interna" ad un quarto di circonferenza di Centro l'origine e raggio:4
ma è "esterna" ad una Circonferenza di Centro: (0,1/2) e raggio: 1/2.

Dunque questo dominio lo posso vedere come l'unione di tre domini y-semplici.

$T1={(x,y): yin[0,1/2], sqrt(16-y^2)<=x<=-sqrt(1/4-y^2)}$
$T2={(x,y): yin[1/2,1], sqrt(16-y^2)<=x<=+sqrt(1/4-y^2)}$
$T3={(x,y):yin[1,4],sqrt(16-y^2)<=x<=0 }$

$Omega=T1UT2UT3$

Giusto?

[pilloeffe]

Giusto?

No...
$x^2 + (2y - 1)^2 = 1 \iff x^2/1^2 + (y - 1/2)^2/(1/2)^2 = 1 $
è un'ellisse di centro $C(0; 1/2)$, non una circonferenza.
Sull'asse $x$ il semiasse ha lunghezza $a = 1$, sull'asse $y$ il semiasse ha lunghezza $b = 1/2 $.
Quindi la disequazione $x^2 + (2y - 1)^2 \ge 1 $ definisce il contorno dell'ellisse e la sua parte esterna, sicché la situazione è la seguente:
https://www.wolframalpha.com/input?i=x+%3C%3D+0+and+y+%3E%3D+0+and+x%5E2%2By%5E2+%3C%3D+16+and+x%5E2%2F4%2By%5E2+%3E%3D+y

[Pappaguro]

E per quanto concerne il calcolo dell' integrale doppio?
Sono costretto a calcolare i tre integrali sulle regioni T1, T2 e T3 oppure c'è un modo più sbrigativo di risolvere l'integrale?

[pilloeffe]

Vista la simmetria di $\Omega$, calcolerei l'integrale doppio su tutta la porzione di cerchio del quadrante II e poi sottrarrei la metà dell'integrale doppio sull'intera piccola ellisse, però dovrebbe funzionare anche come hai pensato...

[Pappaguro]

, calcolerei l'integrale doppio su tutta la porzione di cerchio del quadrante II e poi sottrarrei la metà dell'integrale doppio sull'intera piccola ellisse

Sfruttando il tuo consiglio ed utilizzando un cambio di variabili in coordinate polari , ho ottenuto che il calcolo integrale si è semplificato molto.
Problema: il risultato dell'integrale di superficie non mi convince molto

Considerato $Omega_1$ come la regione piana: "quarto di cerchio del I quadrante"
ed $Omega_2$ come la regione piana: "quarto di ellisse del I quadrante

$Omega_1={(rho,Theta):0<=rho<=4,pi/2<=Theta<=pi}$
$Omega_2={(rho,Theta):0<=rho<=1,pi/2<=Theta<=pi}$

Ho calcolato:
$ int int_(Omega_1)(y-2x) dx dy $
effettuando il cambio di coordinate: $ { ( x=rho costheta ),( y=rhosintheta ):} $ con $dxdy=rhodrhodTheta$
ottenendo così:
$ int_(0)^(4) int_(pi/2)^(pi) rho(rho sintheta - 2rho costheta)drho dTheta =64 $

Ed ho calcolato:
$ int int_(Omega_2)(y-2x) dx dy $
effettuando il cambio di coordinate: $ { ( x=a rho costheta ),( y=b rhosintheta ):} $ con $dxdy=ab rhodrhodTheta$
ottenendo così:
$ int_(0)^(1) int_(pi/2)^(pi) rho/2(rho/2 sintheta - 2rho costheta)drho dTheta =5/12$


Risultato:
$ int int_(Omega)(y-2x) dx dy=int int_(Omega_1)(y-2x) dx dy -2 int int_(Omega_2)(y-2x) dx dy = 64 - 5/6 =379/6$

Dunque:
$I = 4 (379/6) =758/3$

però dovrebbe funzionare anche come hai pensato...

Anche se la logica c'è, dal punto di vista pratico gli integrali doppi che si ottengono non sono di facile risoluzione

[pilloeffe]

Considerato $\Omega_1$ come la regione piana: "quarto di cerchio del I quadrante"
ed $\Omega_2$ come la regione piana: "quarto di ellisse del I quadrante

No, attenzione: "quarto di cerchio del II quadrante" e "metà ellisse del II quadrante"