, calcolerei l'integrale doppio su tutta la porzione di cerchio del quadrante II e poi sottrarrei la metà dell'integrale doppio sull'intera piccola ellisse
Sfruttando il tuo consiglio ed utilizzando un cambio di variabili in coordinate polari , ho ottenuto che il calcolo integrale si è semplificato molto.
Problema: il risultato dell'integrale di superficie non mi convince molto
Considerato $Omega_1$ come la regione piana: "quarto di cerchio del I quadrante"
ed $Omega_2$ come la regione piana: "quarto di ellisse del I quadrante
$Omega_1={(rho,Theta):0<=rho<=4,pi/2<=Theta<=pi}$
$Omega_2={(rho,Theta):0<=rho<=1,pi/2<=Theta<=pi}$
Ho calcolato:
$ int int_(Omega_1)(y-2x) dx dy $
effettuando il cambio di coordinate: $ { ( x=rho costheta ),( y=rhosintheta ):} $ con $dxdy=rhodrhodTheta$
ottenendo così:
$ int_(0)^(4) int_(pi/2)^(pi) rho(rho sintheta - 2rho costheta)drho dTheta =64 $
Ed ho calcolato:
$ int int_(Omega_2)(y-2x) dx dy $
effettuando il cambio di coordinate: $ { ( x=a rho costheta ),( y=b rhosintheta ):} $ con $dxdy=ab rhodrhodTheta$
ottenendo così:
$ int_(0)^(1) int_(pi/2)^(pi) rho/2(rho/2 sintheta - 2rho costheta)drho dTheta =5/12$
Risultato:
$ int int_(Omega)(y-2x) dx dy=int int_(Omega_1)(y-2x) dx dy -2 int int_(Omega_2)(y-2x) dx dy = 64 - 5/6 =379/6$
Dunque:
$I = 4 (379/6) =758/3$
però dovrebbe funzionare anche come hai pensato...
Anche se la logica c'è, dal punto di vista pratico gli integrali doppi che si ottengono non sono di facile risoluzione