Valore reale di una funzione concava avendo lo sviluppo di Taylor

[GoldenRatio]

Buonasera a tutti, ho un problema che non riesco a terminare per miei dubbi e ignoranza.

Ho una funzione $f(x, y)$ differenziabile ma ignota, di cui so che $f(9/10, 1/10) = 3$, $f'_x(9/10, 1/10) = 1$, $f'_y(9/10, 1/10) = -2$.

L'esercizio chiede: "usando la migliore approssimazione lineare di $f$ attorno al punto $(9/10, 1/10)$, calcolare un valore approssimato di $f(1, 0)$. Supponendo poi che $f$ sia strettamente concava, determinare se il valore reale di $f(1,0)$ è maggiore o minore del valore approssimato.

Io ho trovato la linearizzazione, ossia il piano tangente:

$$f(x, y) = f(9/10, 1/10) + f'_x(9/10, 1/10) (x - 9/10) + f'_y(9/10, 1/10)(y-1/10)$$

ossia

$$f(x, y) = x - 2y + \frac{23}{10}$$

Pertanto $f(1, 0) \approx \frac{33}{10}$.

Tuttavia ora non capisco come andare avanti. Ho provato a usare la definizione di concavità, ma non ne esco:

$$f(1-\lambda)x_1 + \lambda y_1, (1-\lambda)x_2, y_2) > (1-\lambda)f(x_1, y_1) + \lambda f(x_2, y_2)$$

Tuttavia da qui non trovo nulla.

Ho provato a usare una definizione scritta sugli appunti, ma secondo me è errata... Sarebbe

$$f(x, y) > f(x_0, y_0) \left[\nabla f(x, y)\bigg|_{x_0, y_0}\right]^t \begin{pmatrix} x - 9/10 \\ y - 1/10\end{pmatrix}$$

Ma questo non mi dà informazioni mi sembra... E soprattutto penso sia sbagliato perché non trovo una simile definizione da nessuna parte.

Qualche aiuto? Grazie!

[pilloeffe]

Ciao GondenRatio,

Ho provato a usare una definizione scritta sugli appunti, ma secondo me è errata... Sarebbe

\( \displaystyle f(x, y) > f(x_0, y_0) \left[\nabla f(x, y)\bigg|_{x_0, y_0}\right]^t \begin{pmatrix} x - 9/10 \\ y - 1/10\end{pmatrix} \)

Secondo me questa è quella che hai scritto poco sopra a parte il maggiore, ma è sbagliata, ci vuole un $+$ fra $f(x_0, y_0) $ ed il resto:

\( \displaystyle f(x, y) > f(x_0, y_0) + \left[\nabla f(x, y)\bigg|_{x_0, y_0}\right]^t \begin{pmatrix} x - 9/10 \\ y - 1/10\end{pmatrix} \)

Potresti provare a dare un'occhiata a questo thread.

[Lebesgue]

Probabilmente l'esercizio ti richiede di ricordare la seguente cosa:
in analisi 1, le funzioni concave sono sotto le rette tangenti, ovvero dato un punto $x_0$, si avrà che $f(x_0) \le $ retta tangente ad $f$ nel punto di ascissa $x_0$.
In analisi 2, basta che sostituisci "retta" con piano.
Inoltre, dato che per ipotesi la funzione è strettamente concava, allora varrà la disuguaglianza stretta, senza uguale.