Volume di un solido generato dalla rotazione

[m.e._liberti]

Sia $A={0<=x<=1, 0<=y<=e^(-x)sqrtx}$ e sia $V$ il solido generato dalla rotazione di $A$ intorno all'asse x. Determina il volume di $V$.
Salve, ho difficoltà in questo caso a determinare l'intervallo di esistenza della variabile z. Potete darmi dei suggerimenti?

[sellacollesella]

Se intendi individuare il solido di rotazione, si ha: \[
V=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:0\le x\le 1,\,y^2+z^2\le\left(e^{-x}\sqrt{x}\right)^2\right\}.
\] Ma ciò non è necessario, basta applicare uno dei due teoremi di Pappo-Guldino.

[pilloeffe]

Ciao m.e._liberti,

Ma non è il caso più semplice che esista?

$V_x = \pi\int_0^1 y^2 \text{d}x = \pi\int_0^1 xe^{-2x} \text{d}x = ... = \pi/4(1 - 3/e^2) $

[m.e._liberti]

Se intendi individuare il solido di rotazione, si ha: \[
V=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:0\le x\le 1,\,y^2+z^2\le\left(e^{-x}\sqrt{x}\right)^2\right\}.
\] Ma ciò non è necessario, basta applicare uno dei due teoremi di Pappo-Guldino.

Ciao, vorrei capire meglio questo passaggio. In generale, quando mi viene richiesto di individuare il solido di rotazione devo elevare al quadrano la y e aggiungere la componente $z^2$?

[sellacollesella]

In generale, quando mi viene richiesto di individuare il solido di rotazione devo elevare al quadrano la y e aggiungere la componente $z^2$?

In generale devi immaginarti il solido che ottieni. In questo caso è facile capire che si
tratta di un solido cilindrico racchiuso dalla superficie \(y^2+z^2=r^2\) con \(r=e^{-x}\sqrt{x}\).

In ogni modo, essendo richiesto il volume di \(V\), non è necessario determinare \(V\), bensì è sufficiente
applicare il secondo teorema di Pappo-Guldino che, nello specifico, porta alla formula di pilloeffe.

[m.e._liberti]

In ogni modo, essendo richiesto il volume di \(V\), non è necessario determinare \(V\), bensì è sufficiente
applicare il secondo teorema di Pappo-Guldino che, nello specifico, porta alla formula di pilloeffe.

Tale teorema dovrebbe dire che il volume è dato dal prodotto tra l’area del dominio, la rotazione e la coordinata del baricentro. Come si ci arriva a calcolare semplicemente

$ V_x = \pi\int_0^1 y^2 \text{d}x $

?

[pilloeffe]

Come ci si arriva a calcolare semplicemente [...]

Beh, l'area del cerchio è semplicemente $\pi r^2 = \pi y^2 $; per ottenere il volume del cilindretto infinitesimo basta moltiplicarla per $\text{d}x $:

$\text{d}V_x = \pi y^2 \text{d}x $

Integrando fra $0$ e $1$ si trova il volume richiesto.
Più in generale, per trovare il volume di solidi di rotazione attorno all'asse $x$ si ha:

$V_x (a, b) = \pi \int_a^b f^2(x) \text{d}x $

[sellacollesella]

Come si ci arriva a calcolare semplicemente [...]?

Dato che: \[
\text{area}(A) := \iint\limits_A 1\,\text{d}x\,\text{d}y,
\quad \quad
x_G:=\frac{1}{\text{area}(A)}\iint\limits_A x\,\text{d}x\,\text{d}y,
\quad \quad
y_G:=\frac{1}{\text{area}(A)}\iint\limits_A y\,\text{d}x\,\text{d}y
\] allora: \[
\text{volume}(V) = \alpha\;\text{distanza}(G,\text{asse})\,\text{area}(A)
\] e quando \(\alpha=2\pi\) e l'asse di rotazione coincide con l'asse x, si ha: \[
\text{volume}(V)=2\pi\,|y_G|\,\text{area}(A) = 2\pi\left|\iint\limits_A y\,\text{d}x\,\text{d}y\right| = \pi\int_0^1 \left(e^{-x}\sqrt{x}\right)^2\text{d}x=\frac{\pi}{4}\left(1-\frac{3}{e^2}\right).
\]

[m.e._liberti]

Ora mi è chiaro, grazie mille ad entrambi