Esempio di successione che NON soddisfi la Condizione di Cauchy

[Simon Studion]

Salve a tutti, sto studiando la condizione di Cauchy in merito alle successioni.
Mi pare di aver capito che in uno spazio metrico reale dotato della metrica euclidea affermare che una successione converge equivale ad affermare che essa soddisfa la condizione di Cauchy.
Di conseguenza, una successione irregolare o divergente, sempre nello spazio metrico reale euclideo, non soddisfa la condizione di Cauchy.
Se considero uno spazio metrico dotato di una metrica non euclidea, come ad esempio la seguente: $d(a,b)=|1/a-1/b|$, posso affermare che la successione $x_n=n$ soddisfa Cauchy, ma non è convergente, anzi è divergente.
Mi chiedevo quindi se è possibile identificare una successione in uno spazio metrico NON euclideo che NON soddisfi la condizione di Cauchy.
Chiedo a voi di farmi un esempio con una metrica a vostro piacimento: io sto avendo difficoltà ad individuarla andando per tentativi.
Grazie mille per l’eventuale risposta.

[Quinzio]

Non so se ho capito bene la tua richiesta, ma si potrebbe pensare a una metrica del tipo:

$d'(x,y) = {(0, " se " d(x,y) = 0),(d(x,y)+1, " se " d(x,y) > 0):}$

dove $d(x,y)$ e' la usuale metrica euclidea.

$d'(x,y)$ soddisfa i requisiti per essere considerata una metrica:
$d'(x,y) \ge 0$
$d'(x,y) = 0 \iff x=y$
$d'(x,y) = d'(y,x)$
e la disuguaglianza triangolare $d'(x,y) \le d'(x,z)+d'(z,y)$.

Una successione convergente $x_n = 1/n$ non soddisfa la condizione di Cauchy con la metrica $d'(x,y)$, perche' banalmente la distanza non va mai a zero, tranne se i due elementi sono coincidenti.

[Simon Studion]

Chiarissimo, è esattamente quello che cercavo.
Se posso un’ultima domanda. Per calcolare il limite di successioni in spazi reali dotati di una metrica non euclidea mi comporto nel seguente modo: cerco di trovare quel $p∈R$ tale che $lim_(n→∞)⁡d(x_n,p)=0$. Faccio bene?
Ad esempio, se ho $x_n=1/n$ con $d(x_n,x_m )=|1/x_n -1/x_m |$, calcolo $lim_(n→∞)⁡|n-1/p|=0$ e trovo che $lim_(n→∞)⁡|n-1/p|=|+∞-1/p|$ e perciò per ogni $p∈R$ il limite va a infinito. Data la scelta del tipo di metrica immagino si debba escludere il caso in cui $p=0$.
È un ragionamento corretto?
Comunque grazie mille per la risposta celerissima.