Volume di un cilindro

[m.e._liberti]

Buonasera a tutti. Ho provato a calcolare senza riuscire a trovarmi con il risultato corretto il volume della regione interna al cilindro di equazione $x^2+y^2<=4$ e compresa tra i piani $z=x-1$ e $z=1-x$. Ho provato a calcolare l'integrale comprendendo l'asse Z tra i due piani, oppure dividendo l'integrale calcolandolo prima in un piano e poi per l'altro, senza riuscire ad ottenere $12sqrt3+8/3π$, il risultato corretto. Mi potete aiutare?
Ammetto di non avere molta dimistichezza con esercizi di questo tipo...

[sellacollesella]

Osservando che: \[
x-1\le 1-x \quad\quad\Leftrightarrow\quad\quad x\le 1
\] dovresti essere in grado di individuare le regioni \(\Omega_1\) e \(\Omega_2\):

\(\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\)
il cui volume totale è effettivamente \(12\sqrt{3}+\frac{8}{3}\pi\).

[m.e._liberti]

Osservando che: \[
x-1\le 1-x \quad\quad\Leftrightarrow\quad\quad x\le 1
\] dovresti essere in grado di individuare le regioni \(\Omega_1\) e \(\Omega_2\)

$\Omega_1={x^2+y^2<=4, x<=1}$ e $\Omega_2={x^2+y^2<=4, x>=1}$, giusto? Gli estremi di x e y li determino poi effettuando un cambio di variabili in coordinate polari?

[sellacollesella]

La regione su cui integrare è \(\Omega=\Omega_1\cup\Omega_2\) con: \[
\begin{aligned}
&\Omega_1=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x\le 1,\,x^2+y^2\le 4,\,x-1\le z\le 1-x\right\};\\
&\Omega_2=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x\ge 1,\,x^2+y^2\le 4,\,1-x\le z\le x-1\right\}.\\
\end{aligned}
\] Una volta impostato gli integrali, puoi adottare tutti i cambi di variabile che ritieni opportuni.

[m.e._liberti]

La regione su cui integrare è \(\Omega=\Omega_1\cup\Omega_2\) con: \[
\begin{aligned}
&\Omega_1=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x\le 1,\,x^2+y^2\le 4,\,x-1\le z\le 1-x\right\};\\
&\Omega_2=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x\ge 1,\,x^2+y^2\le 4,\,1-x\le z\le x-1\right\}.\\
\end{aligned}
\] Una volta impostato gli integrali, puoi adottare tutti i cambi di variabile che ritieni opportuni.

Passando in coordinate cilindriche per $\Omega_1$, è giusto se scrivo che $0<=r<=1/(cos\theta)$ e $0<=\theta<=2π$?

[sellacollesella]

Abbozzando un disegno su carta è facile individuare tre regioni piane:

\(\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\)

• la regione gialla dove \(0\le\rho\le 2\) e \(\frac{\pi}{3}\le\theta\le\frac{5\pi}{3}\);
  
  
• la regione azzurra dove \(0\le\rho\le\frac{1}{\cos\theta}\) e \(-\frac{\pi}{3}\le\theta\le\frac{\pi}{3}\);
  
  
• la regione viola dove \(\frac{1}{\cos\theta}\le\rho\le 2\) e \(-\frac{\pi}{3}\le\theta\le\frac{\pi}{3}\).

Insomma, aiutati nel fare i calcoli, non sperare che escano da soli!

[m.e._liberti]

Risolto... Grazie mille <3