Esercizi e chiarimenti serie numeriche

[pilloeffe]

Vi vorrei chiedere se, per favore, potreste aiutarmi con questa serie?

$ \sum_{n=1}^\infty\ (ln(n))/n^2 $

Anche questa sono sicuro che sia già stata risolta in qualche post, ma siccome non ho voglia di andare a cercarlo te la risolvo di nuovo...

Facendo uso della disuguaglianza $ln x < x $, che vale $\forall x > 0 $, si pone $x := n^{\alpha} $, ove $\alpha $ è un qualsiasi numero positivo, sicché si ha:

$ln n^{\alpha} < n^{\alpha}$

$\alpha ln n < n^{\alpha}$

$ ln n < n^{\alpha}/(\alpha) $

Quindi si ha:

$ \sum_{n=1}^{+ \infty} (ln(n))/n^2 < 1/\alpha \sum_{n=1}^{+ \infty} 1/n^{2 - \alpha}$

Se scegliamo ad esempio il comodo valore $\alpha = 1/2 $, l'ultima scritta sulla destra è la serie armonica generalizzata con $p := 2 - \alpha = 2 - 1/2 = 3/2 > 1 $, notoriamente convergente.

[Quasar3.14]

Grazie!!!

[Quasar3.14]

Questa serie penso che non la dimenticherò più ormai.
Mi sono imbattuto in una serie che sembra, all'apparenza, la fotocopia di quella del primo post:

$sum_{n=1}^\infty\ (root(3)(n^3 + n)-n)$

Ho provato quindi a risolverla come avete spiegato nei post precedenti. Attraverso la razionalizzazione inversa, ottengo

$lim_{n \to \infty} n/((root(3)((n^3 + n)^2) +n(root(3)(n^3 + n)+n^2)$

Ora quel $n$ a numeratore, non mi piace. Se anche dividessi numeratore e denominatore per $x$, otterei un 1 al numeratore ma a quel punto non potrei più dimostrare con il criterio del confronto che la serie è
$ < sum_{n=1}^\infty 1/n^2 $

Questo perchè non avrei più nessuna somma con $n^2$
Dopo vani tentativi ho provato a fare qualche ricerca ma niente che portasse a risolvere la serie con i criteri classici (confronto, radice e rapporto). Avete qualche idea?

[pilloeffe]

Mi sono imbattuto in una serie che sembra, all'apparenza, la fotocopia di quella del primo post:

$ \sum_{n=1}^\infty (\root(3)(n^3 + n) - n) $

All'apparenza, ma in realtà qui devi usare un'altro prodotto notevole per de-razionalizzarla, osservando che si ha:

$ \sum_{n=1}^{+\infty} (\root(3)(n^3 + n) - n) = \sum_{n=1}^{+\infty} (\root(3)(n^3 + n) - \root(3)(n^3)) $

Quindi devi usare $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \implies a - b = \frac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2} $ ove nel caso in esame $a := \root(3)(n^3 + n) $ e $b := root(3)(n^3) $

Anche questa serie sono sicuro che sia già stata risolta qui sul forum in qualche thread, ma siccome non ho voglia di cercarlo ti indico la buona strada...

[Quasar3.14]

Sempre grazie per il tuo aiuto.
Proverò a studiarla seguendo il tuo consiglio.

[Quasar3.14]

Provato a seguire il tuo consiglio e...

$ \sum_{n=1}^{+\infty} (\root(3)(n^3 + n) - n) = \sum_{n=1}^{+\infty} (\root(3)(n^3 + n) - \root(3)(n^3)) $

Applicando il prodotto notevole $ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \implies a - b = \frac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2} $


$ \sum_{n=1}^{+\infty} (n^3+n-n^3)/((root(3)(n^3 + n))^2 + (root(3)(n^3 + n))(\root(3)(n^3))+ (root(3)(n^3))^2 )$ $= \sum_{n=1}^{+\infty} n/((root(3)(n^3 + n))^2 +nroot(3)(n^3 + n)+n^2$

Ora, mi ritrovo sempre con $n$ al numeratore, se divido numeratore e denominatore proprio per $n$ riesco ad ottenere $1$ al numeratore ma in questo modo elimino anche $n^2$ al denominatore che mi avrebbe permesso di ricollegarmi all'esercizio del primo post e applicare il teorema del confronto.

p.s. Ho provato a cercare con parole chiave sul forum e mi sono spulciato diverse decine di pagine di risultati, ma purtroppo, la serie che si "avvicina" è questa, ma essendoci una costante al numeratore lo svolgimento è simile all'esercizio in prima pagina più che a questo.

[pilloeffe]

Infatti la serie proposta diverge positivamente, non vedo quale sia il problema...
C'è anche un modo più veloce di verificarlo, scrivendola così:

$\sum_{n=1}^{+\infty} (\root(3)(n^3 + n) - n) = \sum_{n=1}^{+\infty} (n \root(3)(1 + 1/n^2) - n) = \sum_{n=1}^{+\infty} (\root(3)(1 + 1/n^2) - 1)/(1/n) = $
$ = \sum_{n=1}^{+\infty} (\root(3)(1 + 1/n^2) - 1)/(1/n^2) \cdot 1/n $ \( \displaystyle \sim \) $1/3 \sum_{n=1}^{+\infty} 1/n $

ove si è fatto uso del limite notevole $\lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^a - 1}{x} = a \implies $ \( \displaystyle (1 + x)^a - 1 \sim ax \) con $x := 1/n^2 $ e $a = 1/3 $

[Quasar3.14]

Adesso mi è chiaro!! Grazie! In questo modo si ottiene la serie armonica generalizzata con esponente $<=1$
Purtroppo non riesco ancora a "vedere" i limiti notevoli...

[pilloeffe]

Purtroppo non riesco ancora a "vedere" i limiti notevoli...

Eh riuscire a "vedere" i limiti notevoli è una dote che si acquisisce con l'esperienza: adesso a me riesce abbastanza bene, ma per arrivarci di serie ne ho dovute risolvere parecchie...