Ciao a tutti,
ho iniziato lo studio delle serie ma ho alcuni dubbi. Ho compreso che lo studio del carattere di una serie non si limita a svolgere il limite dello stesso. Nella pratica però non mi è chiaro questo come si traduce. Nel caso che si possa adottare il criterio della radice o del rapporto, ad esempio, in base al risultato ottenuto con il limite se $<$ o $>$ di $1$ possiamo affermare se diverge o converge, ma negli altri casi?
Per esempio, nel caso della seguente serie:
$sum_{n=1}^\infty\ (root(3)(n^3 + 1)-n)$
In questo caso svolgo il limite attraverso la razionalizzazione inversa, attraverso la formula relativa alla differenza di cubi, ottengo $lim_{n \to \infty} 1/((root(3)((n^3 + 1)^2) +n(root(3)(n^3 + 1)+n^2)$
Tale limite è infinitesimo avendo al denominatore infinito e al numeratore 1.
Quindi la condizione necessaria affinchè una serie converga è rispettato. Ora che questa è condizione necessaria ma non sufficiente, cosa manca per terminare lo studio della serie?
Inoltre, vi vorrei chiedere se cortesemente potreste consigliarmi un eserciziario per limiti di successioni e studio di serie numeriche. Ciò che mi interessa è che gli esercizi abbiano soluzione, siano svolti e che non ci sia unicamente il risultato.
Grazie a tutti per l'aiuto.