Serie di potenze

[roooxella]

Buonasera, stavo svolgendo questo esercizio e mi è sorto un dubbio se stessi procedendo nel modo corretto o meno.
L'esercizio è il seguente:
Determinare l’insieme di convergenza e studiare la convergenza uniforme della
seguente serie di funzioni:
$\sum _{n=0}^{+\infty }\frac {n}{3^{n}(2n^{4}+1)}(logx-2)^{n}$

Io ho pensato di operare nel seguente modo:
1) Utilizzare il criterio della radice per ottenere il valore del raggio r che mi viene uguale a 3
2) fare il valore assoluto di (logx-2)^{n} < 3 e ottengo come intervallo e^-1 < x< e^5
3) valutare per x= e^-1 e per x=e^5 se la serie converge

Il mio dubbio principale è se il procedimento è giusto ma soprattutto se i calcoli sono fatti bene. Grazie mille a chiunque mi aiuti.

[pilloeffe]

Ciao roooxella,

Benvenuta sul forum!

Comincerei con l'osservare che la serie proposta si può scrivere nella forma seguente:

$ \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n}{3^n(2n^4+1)}(logx-2)^n = \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n}{2n^4+1}(\frac{logx-2}{3})^n = \sum_{n=0}^{+\infty}b_n (y - y_0)^n $

ove naturalmente $x > 0 $, $b_n := \frac{n}{2n^4+1}$, $y := \frac{logx}{3}$ e $y_0 := 2/3 $, quindi per determinare il raggio di convergenza ti conviene di gran lunga il Criterio del rapporto:

$\lim_{n \to +\infty} b_{n + 1}/b_n = \lim_{n \to +\infty} \frac{n + 1}{2(n + 1)^4+1} \cdot \frac{2n^4+1}{n} = 1 \implies R = 1/1 = 1 $

A questo punto puoi concludere che la serie di potenze proposta converge puntualmente per $|y - y_0| < 1 \iff e^-1 < x < e^5 $
Per la convergenza uniforme devi andare a vedere manualmente cosa accade per $|y - y_0| = 1 \iff x = e^-1 \vv x = e^5 $ e poi applicare il Teorema di Abel: non è difficile rendersi conto che in entrambi i casi la serie risultante è convergente, quindi si conclude che la serie di potenze proposta converge uniformemente $\forall x \in [e^-1, e^5] $

[roooxella]

Grazie mille per l'aiuto!!