Limiti di successioni e sotto-successioni

[gugo82]

Proviamo a vedere di spiegare un po' la situazione nel caso di successioni di numeri reali (rispetto alla topologia usuale).

Domanda 1: Esistono successioni che hanno tutte le estratte regolari e con lo stesso limite?

Sì: sono le successioni regolari.

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Infatti si dimostra che una successione è regolare ed ha limite $l$ (finito o no) se e solo se tutte le sue estratte sono regolari ed hanno limite $l$.
Inoltre, la classe delle successioni estratte regolari è infinita: infatti, essa comprende tutte le successioni che si ottengono sopprimendo il primo, i primi due, i primi tre, ..., i primi $N$ termini della successione; e tali estratte (che non esauriscono tutte le possibilità) sono evidentemente infinite.

Domanda 2: Esistono successioni dalle quali si estraggono successioni regolari ed irregolari?

Sì: sono le successioni non regolari.

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Infatti, si dimostra che da ogni successione non regolare si possono estrarre sia successioni regolari (convergenti ai vari valori di aderenza per la successione), sia successioni non regolari (basta "zompettare" tra gli elementi di due sottosuccessioni regolari ma con differenti limiti¹).
Inoltre, entrambe le sottoclassi di estratte regolari e non regolari sono infinite.

Domanda 3: Esistono successioni che hanno tutte le estratte regolari, ma aventi limiti possibilmente differenti?²

No, non ne esistono.

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Infatti, se la successione considerata è regolare, le sue estratte sono regolari ma hanno lo stesso limite; assurdo.
Se, invece la successione non è regolare, da essa si estraggono anche sottosuccessioni non regolari; assurdo (bis!).

Domanda 4: Esistono successioni dalle quali si estraggono solo successioni non regolari?

No, non ne esistono.

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Infatti, si dimostra che se una successione non è regolare, essa ha almeno un valore di aderenza $l$ (finito o no); ma allora si può costruire un'estratta che è regolare ed ha per limite $l$.

Domanda 5: Esistono successioni dalle quali si estraggono sottosuccessioni regolari in numero finito?

No, non ne esistono.

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Infatti, se da una successione si estrae una sola sottosuccessione regolare, da essa si estraggono infinite sottosuccessioni (che sono estratte anche dalla successione originaria) regolari.

Domanda 6: Esistono successioni dalle quali si estraggono sottosuccessioni non regolari in numero finito?

No, non ne esistono.

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Infatti, se da una successione si estrae una sola sottosuccessione non regolare, da essa si estraggono infinite sottosuccessioni (che sono estratte anche dalla successione originaria) non regolari.

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Infine, propongo un:

Esercizio:

Supponiamo di avere una successione $(x_n)$ che gode della seguente proprietà³:
\[
\tag{C} \forall \epsilon > 0,\ \exists \nu \ni \mathbb{N}:\quad \forall n,m \in \mathbb{N},\ n,m> \nu\ \Rightarrow\ |a_n - a_m| < \epsilon\; .
\]
Dimostra che se da $(x_n)$ si estrae una sottosuccessione convergente verso un $l in RR$, allora $(x_n)$ converge verso $l$.

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Note

1. Ad esempio, considera la più classica delle successioni non regolari, i.e. quella di termine generale $x_n=(-1)^n$. Chiaramente le estratte di termine generale $x_(2n) = 1$ ed $x_(2n+1)=-1$ sono regolari e, rispettivamente, hanno limiti $1$ e $-1$. Ma allora la sottosuccessione estratta dalla famiglia di indici $k_n$ definiti per ricorrenza ponendo:
   \[
   \begin{cases} 0 &\text{, se } n = 0\\ 2k_{n-1} +1 &\text{, se } n \geq 1 \text{ è dispari}\\ 2k_{n-1} &\text{, se } n \geq 1 \text{ è pari}\end{cases}\; ,
   \]
   è costruita "zompettando" tra i termini di $(x_(2n))$ ed $(x_(2n+1))$ (provare per credere!) e non è regolare. ↑
2. Questo, formalizzando, vuol dire chiedersi se da una successione $(x_n)$, da cui si estraggono solo successioni regolari, si possono tirar fuori due estratte $(x_(k_n))$ ed $(x_(h_n))$ tali che $x_(k_n) -> kappa$ e $x_(h_n) -> eta$ con $kappa != eta$. ↑
3. Questa è la cosiddetta proprietà di Cauchy. Si dimostra che in $RR$ la (C) è sostanzialmente equivalente alla convergenza, ossia che sono convergenti tutte e sole le successioni reali che godono della (C). Tuttavia, l'esercizio può essere risolto anche facendo a meno di questo (fortissimo!) risultato... E ciò lo rende molto interessante, perché il ragionamento dimostrativo può essere applicato (proprio verbatim) in spazi in cui la (C) non è equivalente alla convergenza. ↑