Limiti di successioni e sotto-successioni

[gasmoto]

ciao, ho un dubbio sull'argomento del titolo.

Ho studiato che una successione se è convergente allora converge anche ogni sua sotto-successione.

Ho però due domande:


1) se diverge?
ho trovato come unica dimostrazione:

che parla di regolari (e quindi anche divergenti per definizione) ma non capisco nulla della dimostrazione.
Cosa vuol dire se I appartiene a un intorno di l (deduco) "I∈ℑ(ℓ)" quindi [...] "x_kn ∈I"
Non ho davvero capito cosa stia facendo, mi sapreste spiegare


2) del teorema vale anche qualcosa di contrario? cioè se ogni sottosuccessione converge allora converge anche quella madre? Inoltre se ne trovo solo una di sottosuccessione che converge cosa accade?

vi ringrazio

[megas_archon]

Cosa vuol dire se I appartiene a un intorno di l (deduco) "I∈ℑ(ℓ)"

Sarà molto probabilmente il filtro degli intorni di \(\ell\). Per il resto basta leggere.

cioè se ogni sottosuccessione converge allora converge anche quella madre?

E' ovvio, pensaci.

Inoltre se ne trovo solo una di sottosuccessione che converge cosa accade?

In generale, ovviamente, non puoi dire niente: come ti aspetti di poter affermare qualcosa sulla convergenza di una successione, sapendo solo come si comporta una sola sottosuccessione?

[gasmoto]

Ciao grazie per la risposta.

Partiamo dal concetto che sono un ritardato, quindi quello che è ovvio per me non lo è , premesso questo, non avevo mai sentito parlare di filtro di intorni in questo corso di analisi:

Sarà molto probabilmente il filtro degli intorni di ℓ. Per il resto basta leggere.

il fatto è che non avendo una definizione precisa non capisco benissimo come si comporta. Leggendo quella pagina molto ampia non mi è chiarissimo. Mi sarebbe piaciuto avere una definizione e un insieme di proprietà di tale filtro cosi da metabolizzarle e capire come si comporta.

A parte che in quella pic fa tendere x->oo ma il limite di successione tende n->oo e questo già boh... perché scrive così?

1) ad esempio che per ogni $nu$ maggiore di $n$ $x_n$ appartenga a un elemento del filtro degli intorni non capisco perché.

2) $n<=k_n$ questo non ho ben capito perché, cioè ciò che indicizza la sottosuccessione è sicuramente più grande o al più uguale al naturale che indicizza la successione madre.

3) se $x_(k_n)$ sta in quell'I, elemento del filtro degli intorni allora $x_(k_n)->l$ io anche questo purtroppo non lo capisco, non ci arrivo


_________________

cioè se ogni sottosuccessione converge allora converge anche quella madre?

E' ovvio, pensaci.

Qui ritorno alla premessa, in realtà ci ho già pensato a lungo ma da solo non ci sono arrivato, per questo ho scritto. Ma prima di scrivere ci ho riflettutto invano.

Io so di non arrivarci ma vorrei solo capire. Posso chiederti uno spunto se non vuoi darmi la pappa pronta, non so davvero dove mettere mano.

[otta96]

La seconda è veramente ovvia, pensa alla definizione di sottosuccessione.

[gasmoto]

Grazie per la risposta.

Non avevo voglia di scrivere tutto il ragionamento che mi blocca ma noto che è doveroso a questo punto sennò non ne usciamo più XD:

La mia idea era questa dimostrare con la definizione che
1) per ogni $epsilon$ pos., esiste $n_0>0$ tale che per ogni $n_k>n_0$ si ha $|a_(n_k)-a|<epsilon$
implica
2) per ogni $epsilon>0$ esiste $n_0>0$ tale che per ogni $n>n_0$ si ha $|a_(n)-a|<epsilon$

siccome vale per tutte le sottosuccessioni la 1) allora posso scegliere un $n_k'$ come massimo tra tutti gli nk per cui vale $|a_(n_k)-a|<epsilon$ per tutte le sottosuccessioni.

E' evidente che la successione è sottosuccessione di se stessa e quindi sarebbe un gioco facile dire la sottosuccessione "se stessa" converge => converge la successione stessa. Mi voglio levare questo caso ovvio.

Ora, tolto questo caso io mi areno perché in generale $n_k'>n$ con n della 2) e quindi sono bloccato.

Questo per il secondo dubbio.

mentre per le domande riguardo al primo?:

Ciao grazie per la risposta.

Partiamo dal concetto che sono un ritardato, quindi quello che è ovvio per me non lo è , premesso questo, non avevo mai sentito parlare di filtro di intorni in questo corso di analisi:

Sarà molto probabilmente il filtro degli intorni di ℓ. Per il resto basta leggere.

il fatto è che non avendo una definizione precisa non capisco benissimo come si comporta. Leggendo quella pagina molto ampia non mi è chiarissimo. Mi sarebbe piaciuto avere una definizione e un insieme di proprietà di tale filtro cosi da metabolizzarle e capire come si comporta.

A parte che in quella pic fa tendere x->oo ma il limite di successione tende n->oo e questo già boh... perché scrive così?

1) ad esempio che per ogni $nu$ maggiore di $n$ $x_n$ appartenga a un elemento del filtro degli intorni non capisco perché.

2) $n<=k_n$ questo non ho ben capito perché, cioè ciò che indicizza la sottosuccessione è sicuramente più grande o al più uguale al naturale che indicizza la successione madre.

3) se $x_(k_n)$ sta in quell'I, elemento del filtro degli intorni allora $x_(k_n)->l$ io anche questo purtroppo non lo capisco, non ci arrivo

Grazie ragozzi

[otta96]

E' evidente che la successione è sottosuccessione di se stessa e quindi sarebbe un gioco facile dire la sottosuccessione "se stessa" converge => converge la successione stessa. Mi voglio levare questo caso ovvio.

Ma non è un caso ovvio, è letteralmente la dimostrazione! Cosa pensi di dover fare oltre a notare questo?

[gasmoto]

In effetti col senno di poi ho girato male la domanda . Volevo dire che in effetti pensavo valesse la proposizione: "se ogni sottosuccessione converge allora converge anche quella madre" anche riformulandola escludendo la sottosuccessione "se stessa";

cioè mi immaginavo valesse (mia congettura) una cosa del genere: "se so che ogni sottosuccessione (esclusa la sottosuccessione madre) converge, allora converge anche quella madre".

[otta96]

Ma pure così è un'ipotesi veramente troppo forte, ad esempio puoi trascurare un numero finito di termini e avresti una successione convergente, ma dato che cambiando un numero finito di termini non cambia il carattere di una successione anche quella originale convergerebbe. C'è però una formulazione che ti permette di fare il viceversa, ed è la seguente: se ogni sottosuccessione ha una (sotto)sottosuccessione che converge a $l$, anche la successione originaria converge a $l$.

[gasmoto]

Ma pure così è un'ipotesi veramente troppo forte

immaginavo dopo quello che avevi suddetto. Però mi chiedevo: se non è vero che

[sapendo che ogni sottosuccessione eccetto la madre (di cui non so il comportamento) converge] => [ho che la successione madre da cui le ho estratte converge]

deve esistere un controesempio per cui, pur conoscendo tutte le sottosuccessioni (che sono convergenti) di una supposta successione si ha che tuttavia la successione che le ha "partorite" non converge. Ma vai a trovare un controesempio, devi conoscere infinite sottosuccessioni... come diamine fai a fare un controesempio su una infinità di possibilità?

[otta96]

Non esiste un controesempio perchè è vero, e te l'ho anche spiegato.