Sulla definizione di limite e verifica del limite

[limitato]

Ciao,

avrei una domanda e non so darmi risposta e quindi provo qui con voi esperti di matematica.

Mi chiedevo cosa succederebbe se nella definizione di limite scrivessi $|f(x)-c|<=epsilon$ anziché il minore stretto.

Inoltre nel caso della definizione di continuità nel punto x0, anche qui c'è minore stretto, e perché non $|f(x)-f(x_0)|<=epsilon$

Mi sapreste aiutare su questi due punti?

[gugo82]

Mi chiedevo cosa succederebbe se nella definizione di limite scrivessi $ |f(x)-c|<=epsilon $ anziché il minore stretto.

Inoltre nel caso della definizione di continuità nel punto x0, anche qui c'è minore stretto, e perché non $ |f(x)-f(x_0)|<=epsilon $

Mi sapreste aiutare su questi due punti?

Beh, non succede nulla.

In effetti, come esercizio, potresti dimostrare che le due formulazioni sono del tutto equivalenti.

[limitato]

Ciao

La mia idea era la seguente: devo dimostrare <=>, quindi:

per dimostrare che coincidono le due definizioni ho due passi,
- io so che se ho $a<b => a<=b$ quindi questa parte è ovvia.
- la parte più articolata è che $|f(x)-c|<=epsilon => |f(x)-c|<epsilon$ se riesco a dimostrare questo sarei a cavallo perché automaticamente le due definizioni sarebbero la stessa scrittura.

Il punto che non funziona però è qui:
$|f(x)-c|<=epsilon$ <=> $|f(x)-c|<epsilon$ OR $|f(x)-c|=epsilon$;

se riesco a dimostrare che $|f(x)-c|=epsilon$ non sussiste mai ho finito, ma qui mi blocco perché mi pare che l'uguale può (anche) valere, non riesco a vedere perché non ci sia mail, e quindi non mi pare che siano la stessa definizione.

[gugo82]

Il punto è che $epsilon$ è quantificato con $AA$.
Quindi fissato $epsilon > 0$ esiste $delta$ in modo che $|f(x) - c| <= epsilon/2$, perciò...

[limitato]

Credo di aver capito:

valendo per $|f(x)−c|≤ε/2$, quindi al più è uguale a $ε/2$ => $|f(x)-c|≤ε/2<epsilon$ voluto.


Solo una domanda per un formalismo "logico" (per riprendere il ragionamento che avevo fatto e capire anche la congiunzione or), secondo te sarebbe anche corretto dire:
dato che vale per epsilon scelto che torvo un delta tale per cui ho che vale: $|f(x)−c|≤ε/2$ allora siccome posso scrivere che $|f(x)−c|≤ε$ <=> $|f(x)−c|<ε$ OR $|f(x)−c|=ε$, noto però che essendo quel modulo al più uguale a $epsilon/2$, allora $|f(x)−c|=ε$ è sempre falsa, quindi dell'or rimane: $|f(x)−c|≤ε$ <=> $|f(x)−c|<ε$ in questo caso specifico.

Cioè ripetendo in altre parole: la mia idea è che:$|f(x)−c|≤ε$ è identico a scrivere minore stretto di epsilon o uguale a epsilon. Tuttavia valendo certamente per definizione col minore uguale che $|f(x)−c|≤ε/2$, allora non si verifica mai l'uguaglianza con epsilon nell' OR logico e quindi ho solo il caso minore stretto che mi rimane possibile.



Mi piacerebbe poi romperti le scatole con un ultimo quesito: se io rifacessi la definizione di limite con $forall epsilon >=0$, qui, cosa cambierebbe? Non riesco bene a figurarmelo

[gugo82]

Scusa, ma non vedo tutto sto problema... Quella che stai descrivendo è la dimostrazione del fatto che "$a <= b$ e $b < c$ implica $a<c$".

Per quanto riguarda il resto, se mettessi $epsilon >= 0$ le uniche funzioni ad avere limite (ed essere continue) sarebbero le applicazioni costanti. Perché?

[limitato]

Grazie mille gugo82 per aiutarmi!

Scusa, ma non vedo tutto sto problema... Quella che stai descrivendo è la dimostrazione del fatto che "a≤b e b<c implica a<c".

Sì, certo. Volevo solo capire se spiegata in quel modo potesse comunque valere. Perché non mi sembrava di compiere errori nella logica del discorso. Era solo una curiosità aggiuntiva per formalizzare il pensiero.
Alla fine $a<=b$ vuol dire $a<b$ o $a=b$, se io dimostro che $a=b$ non si verifica mai (unito al fatto che vale appunto $a<b$ o $a=b$) se ne deduce che $a<b$. Mi sembrava filare, sbaglio così tanto? Non ho ben capito se dicevi che va bene o meno

Per quanto riguarda il resto, se mettessi ε≥0 le uniche funzioni ad avere limite (ed essere continue) sarebbero le applicazioni costanti. Perché?

Non lo so . Nel senso che non avrei risposto così.

In questo caso (del per ogni $epsilon>=0$) mi sembrava che le due definizioni che si erano dimostrare uguali, ossia quella che usava $|f(x)−c|≤ε$ e quella che usava $|f(x)−c|<ε$ non sono più per nulla interscambiabili.

avrei infatti:
- per il primo dei due, che dovendo valere la definizione di limite: per ogni $epsilon>=0$, allora vale nello specifico anche per $epsilon=0$, per esso trovo il delta ecc ecc. tale per cui: $|f(x)−c|≤0$. ora: un valore assoluto non è mai minore di zero, quindi $|f(x)−c|=0$ e quindi f(x)=c in quel punto.
Però non capisco perché debba essere costante, dato che questa definizione di limite potrebbe, preso un secondo punto, portarci a $|f(x)−b|=0$ => f(x)=b in questo secondo punto.

- per il secondo caso $epsilon>=0$, allora vale nello specifico anche per $epsilon=0$, per esso trovo il delta ecc ecc tale per cui: $|f(x)−c|<0$. Falso! Questa definizione non va mai bene. Nessuna funzione ammetterebbe limite.

Perché non va bene?

[gugo82]

Scusa, ma non vedo tutto sto problema... Quella che stai descrivendo è la dimostrazione del fatto che "a≤b e b<c implica a<c".

Sì, certo. Volevo solo capire se spiegata in quel modo potesse comunque valere. Perché non mi sembrava di compiere errori nella logica del discorso. Era solo una curiosità aggiuntiva per formalizzare il pensiero.
Alla fine $a<=b$ vuol dire $a<b$ o $a=b$, se io dimostro che $a=b$ non si verifica mai (unito al fatto che vale appunto $a<b$ o $a=b$) se ne deduce che $a<b$. Mi sembrava filare, sbaglio così tanto? Non ho ben capito se dicevi che va bene o meno

Va bene, ma non serve, perché di solito è una cosa che si dimostra per esercizio quando si introducono gli assiomi d'ordine del campo reale; quindi più avanti la si dà per assodata, non è che si torna a dimostrarala ogni volta che ce la si trova tra i piedi.

Per quanto riguarda il resto, se mettessi ε≥0 le uniche funzioni ad avere limite (ed essere continue) sarebbero le applicazioni costanti. Perché?

Non lo so . Nel senso che non avrei risposto così.

In questo caso (del per ogni $epsilon>=0$) mi sembrava che le due definizioni che si erano dimostrare uguali, ossia quella che usava $|f(x)−c|≤ε$ e quella che usava $|f(x)−c|<ε$ non sono più per nulla interscambiabili.

avrei infatti:
- per il primo dei due, che dovendo valere la definizione di limite: per ogni $epsilon>=0$, allora vale nello specifico anche per $epsilon=0$, per esso trovo il delta ecc ecc. tale per cui: $|f(x)−c|≤0$. ora: un valore assoluto non è mai minore di zero, quindi $|f(x)−c|=0$ e quindi f(x)=c in quel punto.
Però non capisco perché debba essere costante, dato che questa definizione di limite potrebbe, preso un secondo punto, portarci a $|f(x)−b|=0$ => f(x)=b in questo secondo punto.

- per il secondo caso $epsilon>=0$, allora vale nello specifico anche per $epsilon=0$, per esso trovo il delta ecc ecc tale per cui: $|f(x)−c|<0$. Falso! Questa definizione non va mai bene. Nessuna funzione ammetterebbe limite.

Perché non va bene?

Chiaramente se lasci $|f(x) - c| < epsilon$, quando richiedi $AA epsilon >= 0$ la definizione rimane vuota: non c'è alcuna funzione che la soddisfa... Ed ovviamente non mi riferivo a questo caso, bensì alla versione "modificata" con $|f(x) - c| <= epsilon$. In questo caso, le uniche funzioni a soddisfare la definizione di limite $lim_(x->x_0) f(x) = c$ sarebbero quelle definitivamente costanti intorno ad $x_0$: infatti, scrivendo la definizione per $epsilon = 0$ troveresti che esiste un $delta > 0$ tale che:

$AA x in ]x_0 - delta, x_0 + delta[ nn X \setminus \{ x_0\},\ |f(x) - c| <= 0$

da cui si deduce che $f$ è costante (ed identicamente uguale a $c$) nella parte del dominio $]x_0 - delta, x_0 + delta[ nn X \setminus \{ x_0\}$.

[limitato]

Va bene, ma non serve, perché di solito è una cosa che si dimostra per esercizio quando si introducono gli assiomi d'ordine del campo reale; quindi più avanti la si dà per assodata, non è che si torna a dimostrarala ogni volta che ce la si trova tra i piedi.

Ah okok, chiarissimo. In realtà non mi era stato mostrato nulla del genere e sono in un periodo in cui voglio cercare di dimostrare tutto dal principio e quindi me l'ero auto-dedotta solo ora. Non che fosse una grande scoperta , però avendo avuto quella intuizione volevo chiedere se fosse per lo meno intelligente.

In questo caso, le uniche funzioni a soddisfare la definizione di limite $lim_(x->x_0) f(x) = c$ sarebbero quelle definitivamente costanti intorno ad $x_0$: infatti, scrivendo la definizione per $epsilon = 0$ troveresti che esiste un $delta > 0$ tale che:

$AA x in ]x_0 - delta, x_0 + delta[ nn X \setminus \{ x_0\},\ |f(x) - c| <= 0$

da cui si deduce che $f$ è costante (ed identicamente uguale a $c$) nella parte del dominio $]x_0 - delta, x_0 + delta[ nn X \setminus \{ x_0\}$.

perfetto ora ho capito. Pensavo intendessi le costanti su tutto $RR$ e non mi ci ritrovavo. Invece ovviamente mi suggerivi una costanza nell'intorno delle $x_0$ in cui ho trovato il raggio $delta$ utile allo scopo. Ok, mi pare di esserci ora perché hai scritto in modo ordinato quello che dicevo io, e il punto che mi era inizialmente sfuggito.


Giusto per ricapitolare i miei sciocchi dubbi e tirare le somme:

(voglio dimostrare)
$\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| <\varepsilon $
<=>
$\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| <= \epsilon $

=>) ovvia per via del fatto che $<$ è più stringente di $<=$

<=) parto dalla mia ipotesi: $\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| <=\varepsilon $

e sfrutto ora il fatto che:

$\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| <=\varepsilon $
<=> (*)
$\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| <=c\varepsilon $, con c costante positiva arbitraria

da cio:

fissato $ε>0$ esiste $δ$ di modo che $|f(x)−l|≤1/2 \varepsilon < epsilon$ q.e.d.

Spero vada bene, vorrei diciamo giustificare ogni singolo passaggio e l'utilizzo dell'epsilon mezzi mi pare funzionare proprio per via della (*) che mi sono auto/dimostrato e non sto qui a postare.


Mi piacerebbe poi chiederti un'ultima cosa su questo argomento dei limiti, cosa che ho letto proprio poco fa in una tua discussione vecchia usando il "cerca", ma non voglio allungare troppo il bordo qui e prima vorrei finire quanto stavamo dicendo

Grazie mille, mi hai insegnato molte cose!

[gugo82]

Sì, ok.



P.S.: Nell'ultima formula c'è $c$ al posto di $l$.