Correggo subito la svista. Per non ricopiarmi la formula matematica avevo fatto un copia-incolla da sopra ma non mi ero ricordato che nel messaggio prima usai c al posto di l XD. però è chiaro, lascio corretto per i posteri se mai passasse qualcuno in futuro.
Come promesso, per farmi odiare
...Ovviamente oltre alla teoria sto svolgendo alcuni esercizi e ci sono i classici "verifica con la definizione di limite".
Avevo un dubbio esattamente identico a questo: https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 6&t=203877 (copio tutto qui così da non doverti far leggere il link)
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
bmabs ha scritto:Più che di un esercizio in sé vorrei capire una cosa riguardo la logica che sottende la verifica del limite tramite la definizione con epsilon e delta vari.
Per la definizione di limite
$AA epsilon > 0, EE delta_epsilon >0 t.c. \ AA x in X, 0 < |x - x_0| < delta => |f(x) - l| < epsilon$
tutto bene, ora mi aspetto di dover sfruttare questo e di solito infatti si parte dalla condizione di aver scelto un epsilon a caso
Imposto la $|f(x)-l|<\epsilon$
e dimostro con vari passaggio che $|x-x_0|<g(\epsilon)=\delta$ cioè trovo una certa funzione di epsilon che sarà la mia delta cercata.
Quello che onn mi convince però è che io parto da: $|f(x)-l|<\epsilon$ però io parto dalla implicazione, cioè quello è il risultato che SE esiste delta allora vale quella disuguaglianza con valore assoluto con il valore del limite. A me sembra che verifico questo fatto:
Se e esiste epsilon che verifica questo: $|f(x)-l|<\epsilon$ ALLORA esiste il delta. Ma non è mica vero che se A=>B per essere vera non devo verificare B (nel nostro caso $|f(x)-l|<\epsilon$) => A (nel nostro caso A è: che esiste delta)
Non so se sono riuscito a spiegarmi molto nel caso provo a riscrivere con altre parole.
alché mi sono letto tutta quella discussione e sono arrivato alla tua risposta a pg2:
leggendo la tua risposta mi è chiaro quello che si sta facendo: si assume un epsilon a piacere e si determina l'insieme di soluzioni $S_(l,k)$, da qui valendo una biimplicazione $|f(x) - l| < epsilon <=> x in text(Dom)(f) nn S_(l,epsilon)$ diventa una implicazione quando trovo il $delta$ raggio dell'opportuno intorno forato, che essendo un sottoinsieme a quel punto varrà come implicazione "=>".gugo82 ha scritto:Sbagli ad interpretare le implicazioni.
Risolvere esplicitamente $|f(x) - l| < epsilon$ significa determinare un insieme $S_(l, epsilon)!= emptyset$ tale che $|f(x) - l| < epsilon <=> x in text(Dom)(f) nn S_(l,epsilon)$.
Ne viene che, per ogni sottoinsieme $X sube text(Dom)(f) nn S_(l,epsilon)$ non vuoto, vale l’implicazione $x in X => |f(x) - l| < epsilon $ (ma, in generale, non vale il v.v.).
Conseguentemente, se in $S_(l,epsilon)$ riesci ad isolare un opportuno intorno forato $I_(x_0, delta)^’ := ]x_0-delta , x_0+ delta[\setminus \{x_0\}$ di $x_0$, hai certamente $x in text(Dom)(f) nn I_(x_0,delta)^’ => |f(x) - l|<epsilon$, i.e. $AA x in text(Dom)(f),\ 0<|x - x_0| <delta => |f(x) - l| < epsilon$.
Dunque, nei casi elementari, per vedere se un certo $l$ soddisfa la definizione di limite si risolve la disequazione parametrica $|f(x) - l| < epsilon$ (almeno per valori “piccoli” del parametro) e si cerca di isolare un intorno forato di $x_0$ nell’insieme delle soluzioni.
Tuttavia non capisco e continua a rimanermi in testa che, vale anche questa lettura:
1) assumo epsilon arbitrario
2) imposto $|f(x)-l|<\epsilon$
3) trovo di conseguenza $ |x-x_0|<g(\epsilon)=\delta $ (e delta è a tutti gli effetti una funzione di epsilon, e ricavandola dalla disuguaglianza precedente viene "implicata"/ossia la deduco la delta: 2=>3)
E letta in questo modo dice: parto da $epsilon$ e $|f(x)-l|<\epsilon$ => trovo $delta$ e l'implicazione è a tutti gli effetti opposta a quella che dice la definizione di limite. Ma dato che può essere letta in modo corretto anche nel modo in cui scrivevi tu (e lo capisco) allora vale anche il contrario? In sostanza il mio dubbio è che non riesco a capire perché questa mia lettura sia sbagliata a me sembra lecito interpretarla anche in questo modo. Come faccio invece a capire che è errata?
Lo vorrei capire per non ripetere l'errore in futuro, cioè capire perché non va bene.
.
e voglio rimediare e imparare a ragionare meglio.
però mi sembra giusto come idea... ho semplicemente tolto i moduli uno dentro l'altro con i vari sottocasi.
e grazie.