Derivata direzionale (dubbio teoria)

[tachiflupec]

In effetti è un problema che a suo tempo (quando ho fatto la prima parte di analisi) non mi ero accorto e ora si, forse maturando nei ragionamenti mi sono accorto di questo dubbio.

In effetti in fondo:

$lim_(x->x_0) (f(x)-f(x_0))/(x-x_0)$ non crea grandi problemi se ci metto in mezzo un funzione:
$lim_(g(x)->g(x_0)) (f(g(x))-f(g(x_0)))/(g(x)-g(x_0))$ abusando un po' della notazione, ma fa capire meglio.

Insomma avrei lo stesso risultato del limite nei due casi.

PS: sempre continuando l'abuso di notazione quello che voglio dire è che $f'(g(x))=f'(x)$ che sia una g(x) a "variare" o una "x" nel rapporto poco cambia.

[tachiflupec]

@Quinzio: ho visto che non hai più avuto modo di rispondere ma spero che quanto detto sopra sia corretto, nel caso contrario spero potrai darmi tuoi utilissimi spunti.

Volevo solo integrare il mio ultimo post con una considerazione: il fatto che il limite con $g(x)->g(x_0)$ sia una derivata è vero, in sostanza ho un cambio variabile e uso g come variabile del limite.
Però mi lascia comunque un tarlo nel senso che è vero che $f'(g(x))=f'(x)$, però non spiega davvero perché, mi sembra un po' tautologico perché non dà una vera risposta al dubbio che dicevo nella pagina precedente, il fatto che nel primo dei due limiti si abbia
$lim_(x->x_0) (f(x)-f(x_0))/(x-x_0)$ e la x che si avvicina a x0 dà una certa derivata

non è immediatamente chiaro perché il limite

$lim_(g(x)->g(x_0)) (f(g(x))-f(g(x_0)))/(g(x)-g(x_0))$ dia comunque la stessa derivata per $g(x)->g(x_0)$, perché io mi figuro che $g(x)->g(x_0)$ in modo diverso da $x->x_0$ potrebbe benissimo essere "molto più veloce" o "molto più lento", quindi il fatto che i limiti poi coincidano pur cambiando variabile in argomento alla f, e usando una g anziché x non è così immediato.

Il discorso mi lascia un po' l'amaro in bocca perché dice solo che coincidono, ma intuitivamente non vedo il perché.


PS:
In altro modo per esser formalmente più corretti e non scrivere $f'(g(x))$ ma $f'(y)$ il II limite potrei scriverlo nominando $y:=g(x)$, $g(x)$ ad esempio può essere $x^2$ e si vede che è più rapido nel suo avvicinarsi a un valore superiore a 1 rispetto a quanto faccia x. Cioè $x^2->x_0=10$ più velocemente di $x->x_0=10$ ad esempio.

Però:
$lim_(y->y_0) (f(y)-f(y_0))/(y-y_0)$ ha come limite $f'(y)$ che è lo stesso di $f'(x)$. Il dubbio che esprimevo nella pagina precedente in fondo è questo.