tachiflupec ha scritto:e quindi mi sembra di capire che l'autore dica che quella che definisco come derivata (fin da analisi 1) di una certa funzione, diciamola: "f", ossia il rapporto incrementale per l'incremento t è la stessa cosa di dire derivo per t, ossia: $(df)/(dt)=\lim_{t \to 0} \frac{f(\mathbf p + t \mathbf v) - f(\mathbf p)}{t} $. Ma a me non pare che vadano prorpio così le cose:
Io quello che voglio dire (uso h al posto di t per riportarmi alla notazione tipica di analisi1) è che: $(df)/(dh)!=\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x)}{h}=(df)/(dx)$. (insomma il limite di quel rapporto incrementale è la derivazione per $x$ non per $h$ - o $t$ se vogliamo chiamare $t$ l'incremento-).
invece qui sto asserendo proprio che la prima disuguaglianza è una uguaglianza, mi pare.
Hai ragione, nel senso che la cosa va chiarita.
Dietro c'e' un gioco di prestigio con le variabili e un po' di confusione, che non guasta mai.
Questa cosa qui e' formalmente sbagliata, anche se tutti ne capiscono il significato:
$(df)/(dt)=\lim_{t \to 0} \frac{f(\mathbf p + t \mathbf v) - f(\mathbf p)}{t} $
e bisognerebbe scriverla cosi'
$(df)/(dt)=\lim_{h \to 0} \frac{f(\mathbf p + (t+h) \mathbf v) - f(\mathbf p + t \mathbf v)}{h} $
Scritta in questo modo ritorna ad essere il "solito" limite del un rapporto incrementale, dove nel limite ho fatto uso di una variabile temporanea, o muta, la $h$, che serve solo per il calcolo del limite.
Tu starai pensando a tante domande, ad es.: ma non e' la stessa cosa ? No, non e' la stessa cosa.
Oppure: ma rispetto a cosa sto derivando, rispetto a $\bb p$ o rispetto a $t$ ? Stai derivando rispetto a $t$. Se ci pensi e' l'unica risposta possibile. La derivata, ossia il rapporto di un limite incrementale, ha senso solo con funzioni $RR \to RR$, non con funzioni $RR^2 \to RR$ o $RR^3 \to RR$, ecc...
Il limite di un rapporto incrementale e' un rapporto prima di tutto, e un rapporto e' una divisione, che ha senso solo fatta con un numero solo al numeratore e un numero solo al denominatore. Quindi dire che si sta derivando da una funzione $RR^2 \to RR$ non ha senso. Sarebbe come dire che stai dividendo con due numeri al denominatore.
Tu dirai, e il gradiente, cos'e' allora ? Il gradiente e' un vettore di $n$ derivate, ognuna fatta rispetto a una singola variabile e "facendo finta" che le altre variabili siano parametri fissi.
Nel nostro caso quindi, non stiamo derivando rispetto a $\bb p $, che non ha senso, ma rispetto a $t$.
Adesso si dovrebbe capire meglio anche il significato di
$ D_{\mathbf v} f(\mathbf p) = \frac{"d"}{"d"t}f(\mathbf p + t \mathbf v)|_{t = 0} $.
$t$ non e' la variabile muta del rapporto incrementale. $t$ e' sempre una variabile temporanea, se vogliamo, presa in prestito per definire una funzione di una variabile sola.
Se $t$ fosse la variabile muta, questa scrittura non avrebbe senso, perche' sarebbe di fatto una divisione per zero.
Forse sarebbe meglio scriverla cosi', come primo approccio
$ D_{\mathbf V} f(\mathbf {P_0}) = \frac{"d"}{"d"t}f(\mathbf P_0 + t \mathbf V)|_{t = 0} $,
Scritta cosi', con le lettere maiuscole che stanno ad indicare delle costanti, si vede meglio che non si sta derivando rispetto a $\bb p$, o a $\bb P_0$, o tanto meno rispetto a $\bb V$, ma rispetto a $t$, anche se in teoria era gia' chiaro prima.
Fatta la derivata, si pone $t=0$ in modo da "ritornare" nel punto $\bb P_0$.
Poi nessuno vieta di considerare $\bb P_0$ come variabile, ovvero lasciare scritto $\bb p$, un po' come si puo' scrivere
$(d\ (g(x,y)))/(dx) = k(y)$, a patto di aver capito che la derivata non la si fa con una funzione di 2 variabili rispetto a tutte e due le variabili $x, y$ contemporaneamente, che non ha senso, ma rispetto alla stessa funzione dove $y$ e' diventata fissa. Poi, una volta fatta la derivata, $y$ puo' ritornare ad essere "variabile".
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