Parametrizzazione

[kaiz]

Buongiorno. Vorrei chiarire un dubbio che ho studiando la prima parte di analisi 1 secondo modulo.

Il professore ha iniziato a parlare di superfici e curve come mappe.

Ad esempio una curva è una mappa da $gamma: RR -> RR^n$ con certe richieste (regolare C1 ecc... che per ora tralascio perché non è tanto qui il dubbio)

Mentre una superficie è: $phi: RR^2 -> RR^n$

usiamo pure n=3 per avere intuizione grafica.

Ecco io mi chiedo:

le curve sono quindi funzioni del tipo: $(a(t),b(t),c(t))$ mentre le superfici $(d(u,v),e(u,v)f(u,v))$, però viste così non riesco a capire in modo immediato perché la prima tipologia mi restituisca una curva (quindi qualcosa di intuitivamente 1D) mentre la seconda tipologia una superficie (ossia qualcosa di 2D).
In un certo senso la differenza è che mentre con le curve io posso disegnare muovendomi, preso un punto p in (x,y,z), solo in "una direzione" liberamente; con le superfici posso muovermi dopo aver scelto il punto p in "due direzioni" liberamente. Insomma, è come se $(a(t),b(t),c(t))$ non mi permettesse una libertà nel movimento nel disegnare il grafico ma non capisco questo vincolo da cosa sia dovuto dato che di fatto $(x=a(t),y=b(t),z=c(t))$, e con questo intendo dire che di fatto l'immagine può essere una qualunque figura 3D apparentemente, mentre non è così evidentemente perché esce sempre e solo una curva.

[megas_archon]

E' dovuto al fatto che la definizione ti è stata data affinché sia vero che quasi tutti i punti dell'immagine di \(\phi\) abbiano un intorno omeomorfo (o diffeomorfo) a un aperto di \(\mathbb R^d\), e quel $d$, che è localmente costante, è la "dimensione" della "varietà" che vai definendo.

Se fai il disegno della suddetta immagine, quando \(d=1\) essa sarà un filo, e se \(d=2\) un lenzuolo.

[sellacollesella]

Premesso che la mia conoscenza è molto rudimentale, io ti proporrei degli esempi elementari.

Sfera solida unitaria \[
x^2+y^2+z^2\le 1
\quad\quad\Rightarrow\quad\quad
\begin{cases}
x=\rho\sin\varphi\cos\theta\\
y=\rho\sin\varphi\sin\theta\\
z=\rho\cos\varphi
\end{cases},
\quad (\rho,\varphi,\theta) \in [0,1]\times[0,\pi]\times[0,2\pi)
\] dove un punto materiale ha sbloccati tutti e tre i gradi di libertà concessi dallo spazio considerato.

Sfera unitaria \[
x^2+y^2+z^2=1
\quad\quad\Rightarrow\quad\quad
\begin{cases}
x=\sin\varphi\cos\theta\\
y=\sin\varphi\sin\theta\\
z=\cos\varphi
\end{cases},
\quad (\varphi,\theta) \in [0,\pi]\times[0,2\pi)
\] dove un punto materiale ha sbloccati solo due gradi di libertà, in quanto abbiamo fissato \(\rho=1\).

Circonferenza unitaria \[
\begin{cases}
x^2+y^2=1\\
z=0\\
\end{cases}
\quad\quad\Rightarrow\quad\quad
\begin{cases}
x=\cos\theta\\
y=\sin\theta\\
z=0
\end{cases},
\quad \theta \in [0,2\pi)
\] dove un punto materiale ha sbloccato un grado di libertà, in quanto abbiamo fissato \((\rho,\varphi)=\left(1,\frac{\pi}{2}\right)\).

Sicuramente non ha nulla di rigoroso, ma a me all'inizio ha aiutato a capirci qualcosa di più.

[kaiz]

In sostanza, se ben intuisco le vostre due risposte, l'idea è che in effetti essendo omeomorfo alla "dimensione" d con cui parametrizzo sono vincolato a quella "dimensionalità". Non so bene come chiamarla propriamente, non c'entra nulla col concetto che darei in AL, ma credo lasci intuire cosa intendo la parola "dimensione".

Comunque, in sostanza dato che parametrizzo la curva con un solo parametro allora avrò una sola dimensione, appunto, se ne prendo due di parametri avrò un lenzuolo ecc.

E' questo il concetto intuitivo che ci sta sotto, giusto? Mi sembrerebbe di si per ora.

[kaiz]

Solo una domanda ulteriore se quanto sopra non fosse del tutto una scemenza, siccome parlavi di omeomorfismo ho letto la definizione e ho capito. Però mi rimane un dubbio, perché se ho un omeomorfismo (ossia una funzione biunivoca continua in entrambi i versi) allora ho la stessa dimensionalità tra "ciò che parametrizzo" e il "dominio con cui parametrizzo" l'oggetto?

Cioè mi rimane una tautologia perché mi dico ok ho la stessa dimensione perché è un omeomorfismo, ma perché se ho un omeomorfismo mi mantiene quella stessa "dimensione"? Rimane un po' vacuo allo stato della mia conoscenza attuale e vorrei capirne di più.

[megas_archon]

In realtà questo non è un fatto del tutto banale: si chiama teorema dell'invarianza della dimensione. Vedi ad esempio qui (pazzesco che questa sia una tesi triennale...) https://loi.unica.it/tesi/tesimarianna.pdf

[kaiz]

Interessante come per formalizzare una intuizione del genere ci volesse tanto formalismo e solo arrivare al 1920.
grazie per il link, devo capire ancora molte cose (che non avevo ancora visto in questa prima metà dell'anno) ma mi sembra di aver capito il senso per ora.

[gabriella127]

Comunque, in sostanza dato che parametrizzo la curva con un solo parametro allora avrò una sola dimensione, appunto, se ne prendo due di parametri avrò un lenzuolo ecc.

E' questo il concetto intuitivo che ci sta sotto, giusto? Mi sembrerebbe di si per ora.

Per la verità credo che non basta il fatto che si parametrizza con un solo parametro per avere una sola dimensione.

È passato tempo da quando sapevo un po' di impicci sulle curve, ma servono delle ipotesi di regolarità per evitare situazioni 'strambe' e avere una curva 'normale', unidimensionale
(non so se e come come abbia a che fare con il teorema dell'invarianza della dimensione, e quali siano le assunzioni necessarie perché una curva sia localmente simile a una retta, mi limito a considerazioni intuitive e a $\mathbb {R}^n$ e nozioni di analisi).

Non è detto che una curva abbia come immagine un 'filo', di una dimensione, e non qualcosa di 'pieno' come l'interno di un quadrato, ma sono necessarie delle ipotesi.
L'esempio noto è la curva di Peano (la curva Space Filling): si può costruire una curva continua $\phi : [0,1] \rightarrow \mathbb {R}^2$ la cui immagine è tutto il quadrato $[0,1]\times [0,1]$.
Jordan fece la definizione di curva come la conosciamo, applicazione continua da un intervallo di $\mathbb {R}$ a $\mathbb {R}^n$, poi prese il bidone perché Peano costruì la sua curva per niente filiforme.
https://matematica.unibocconi.eu/sites/ ... GP_4_0.pdf

È un esempio del fatto che la nozione di curva solo continua, senza altre ipotesi di regolarità porta a risultati strani (mi pare che le funzioni che rappresentano la curva di Peano non sono derivabili in nessun punto).
Perché una curva abbia l'aspetto 'normale' tipo un filo in $\mathbb {R}^n$ ci vogliono altre ipotesi.
L'ipotesi $C^1$ è un'ipotesi che serve a questo.

Riesco ad avere una idea intuitiva della questione per le curve piane, pensando alla forma cartesiana invece che alla forma parametrica.
E vedere se la curva è localmente esprimibile come il grafico di una funzione, cosa che esclude il caso di 'figure piene', non filiformi, come immagine.
Ad esempio, se $\phi: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}^2$ è una curva regolare semplice e $t_0\in (a,b)$, per $t$ vicino a $t_0$ è sempre possibile esprimerla in forma cartesiana (esplicita) come il grafico di una funzione ($\phi$ è invertibile in un intorno di $t_0$ e si ricorre a un cambiamento di parametro).
Una cosa simile vale per curve in $\mathbb{R}^n$. Limitandosi a $\mathbb{R}^n$, senza andare su geometria differenziale e varietà topologiche, si dimostra che se una curva $\phi: I \rightarrow \mathbb{R}^n$ è regolare e semplice, per ogni $t_0$ interno a $I$ esiste un intorno aperto $J$ di $t_0$ tale che $\phi (J)$ è una varietà unidimensionale.¹

E se si rappresenta la curva piana in forma cartesiana implicita, come il luogo di zeri di una funzione $f: \mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}$, $f(x,y)=0$, il teorema della funzione implicita ci dice delle condizioni sufficienti perché sia localmente esprimibile come una funzione, $y=\phi (x)$ (la forma cartesiana esplicita), e quindi il luogo degli zeri sia una curva unidimensionale e non un malloppone pieno (ad esempio se si prende la funzione implicita $f(x,y)=0$, con $f$ funzione nulla, si ha tutto $\mathbb{R}^2$).

L'esempio del teorema del Dini mi pare dia una idea intuitiva.
Basta pensare alla circonferenza, è localmente esplicitabile, esplicitabile 'a pezzi', per il teorema della funzione implicita, e questo ci fa vedere che è unidimensionale e non un qualcosa di pieno, come una porzione di piano.

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Note

1. Naturalmente tocca sapere cos'è una varietà k-dimensionale, e come è definita la sua dimensione, una trattazione limitata ad $R^n$ senza andare su libri di geometria differenziale sta in Marcellini-Sbordone, Analisi 2, da cui ho tratto quest'ultima cosa. La dimostrazione usa il teorema di invertibilità locale, non so come lo chiami, il teorema della funzione inversa, che poi con il teorema del Dini che cito sotto sono parenti. ↑

[kaiz]

@gabriella: leggo solo ora la tua risposta. Ringrazio molto perché mi ha fatto ragionare.