Esercizi funzioni (inverse, simmetrie, iniettività...)

[Quasar3.14]

Ciao a tutti, ho svolto i seguenti esercizi mi potreste dare, per favore, un vostro parere/aiuto?

Nel primo esercizio mi viene chiesto di verificare l'iniettività, la suriettività, l'inversa e determinarne l'immagine della seguente funzione definita in $f: [+, +infty) -> (0, +infty)$:

$f(x) = e^(|x|-1)$

Il grafico della funzione è una parabola con il vertice nel punto di coordinate $(0, 1/e)$ quindi non è ne suriettiva ne iniettiva ma poichè è definita solo in $R^+$ allora diventa iniettiva in quanto non prendo in considerazione il secondo quadrante.
Se non ci fosse questa limitazione, avrei una funzione pari quindi per definizione non iniettiva.
Suriettiva lo diventa se limitiamo la sua immagine ai valori $[1/e, +infty)$
Per confermare l'iniettivita pongo $e^(|x_1|-1) = e^(|x_2|-1)$ ottenendo $|x_1|-1 = |x_2|-1$
Quindi ottengo il sistema $x_1-1 = x_2-1 vv x_1-1 = -x_2-1$ ottenendo da una parte $x_1 = x_2 vv x_1 = -x_2$ Poichè prendo in considerazione solo i valori positivi l'iniettività è confermata.

Calcolo la funzione inversa di $y = e^(|x|-1)$ ed ottengo

$logy=|x|+1$
$logy-1=|x|$
$x=+-log(y)-1$

Cosa ne pensate?

I successivi esercizi mi chiedono di verificare le simmetrie delle seguenti funzioni:

$f(x)=xe^x$ e $f(x)=(xsenx)/(1+x^2)$

Una funzione è pari, quindi simmetrica rispetto all'asse delle y, se $f(x)=f(-x)$.
Sostituisco alla $x$ il termine $-x$ ed ottengo $f(-x)=-xe^-x$ che è uguale a $-x 1/e^x$
La funzione quindi non è pari in quanto $f(x)!=f(-x)$

Per la disparità invece $f(-x)=-f(x)$ ma anche in questo caso $-xe^x!=-x1/e^x$

Per la seconda funzione ho invece qualche difficoltà in più. Il dominio della funzione è l'insieme dei numeri reali in quanto al denominatore ho una quantità sempre positiva.

$f(x)=f(-x)$ --> $f(x)=(xsenx)/(1+x^2) = (-xsen(-x))/(1+(-x)^2)$
Al denominatore la condizione è rispettata in quanto c'è una potenza pari ma non capisco come dimostrare con i calcoli per il numeratore che la funzione è pari, potreste darmi qualche suggerimento?

Grazie

[gugo82]

Sai cos'è una parabola?

[Quasar3.14]

Si, cavolo, hai ragione.

Ho visto il grafico e mi sono confuso, quella del primo esercizio non è una parabola. Essendoci il valore assoluto come esponente si formano due "rami" che mi hanno tratto in inganno. Quindi non c'è nessuna parabole e di conseguenza non c'è nessun "vertice della parabola".
Quello che ho definito vertice è il punto d'intersezione con l'asse delle ordinate.

[pilloeffe]

Ciao Quasar3.14,

Tornando sulla funzione iniziale,

$ f: [+, +infty) -> (0, +infty) $:

$f(x) = e^(|x|-1) $

Immagino che qui intendessi $f:[0, +\infty) \rightarrow (0, +infty) $, sicché quel modulo diventa inutile e si ha una semplice funzione esponenziale del tipo $f(x) = k e^x $ con $k := 1/e $: le parabole invece sono un'altra cosa, sono funzioni del tipo $y = f(x) = ax^2 + bx + c $ con $a \in \RR - {0}$, $b \in \RR $, $c \in \RR $

Cosa ne pensate?

Penso che non hai ben compreso quando una funzione è invertibile...

Devi ovviamente considerare $y = 1/e e^x = e^-1 e^x $ quindi si ha:

$ln y = ln e^-1 + ln e^x $

$ln y = - 1 + x $

$x = ln y + 1 $

Dunque la funzione inversa è $y = lnx + 1 $
Se tracci il grafico della funzione data e della sua inversa appena scritta potrai renderti conto che sono simmetriche rispetto alla retta $y = x $ bisettrice del primo e del terzo quadrante (una funzione invertibile e la sua inversa sono sempre simmetriche rispetto alla retta $y = x $)

Per quanto concerne il discorso di funzione $P$ (Pari), $D$ (Dispari), $NPND$ (Né Pari Né Dispari) devi in effetti prima sostituire $- x$ a $x$ nella funzione, poi vedere cosa accade... I casi possibili sono solo $3$:
1) se $f(- x) = f(x) $ allora la funzione è $P$;
2) se $f(- x) = - f(x) $ allora la funzione è $D$;
3) se non si verifica alcuna delle due condizioni precedenti allora la funzione è $NPND$

Ciò detto, l'ultima funzione che hai scritto è pari in quanto si ha:

$f(-x) = (-x sin(-x))/(1+(-x)^2) = (-x (- sin x))/(1+ x^2) = (x sin x)/(1+x^2) = f(x) $

[Quasar3.14]

Grazie nuovamente per il vostro aiuto.

@piloeffe, hai ragione, purtroppo mi sono accorto dell'errore dopo la domanda che mi ha posto @gugo82.
Avevo visto il grafico della funzione e, sbagliando, avevo pensato ad una parabola. Lo so, brutto errore
A dire il vero dal punto di vista teorico mi è chiaro quando una funzione è invertibile, solo che sono un bel po' arrugginito con i calcoli e tendo a commettere spesso errori (ed ammetto anche orrori) durante lo svolgimento degli esercizi. Per questo quando non sono sicuro dello svolgimento o del risultato scrivo sul forum in modo da poter avere un confronto e un aiuto.

Riguardo agli ultimi due esercizi, pensi che i calcoli del primo esercizio siano corretti?

Per l'ultimo esercizio

$ f(-x) = (-x sin(-x))/(1+(-x)^2) = (-x (- sin x))/(1+ x^2) = (x sin x)/(1+x^2) = f(x) $

$-x (- sin x)= x sin x$ è uguale per le regole di riduzione trigonometriche? Avevo dubbi per il fatto che ci fossero due segni $-$ al primo membro

[pilloeffe]

Riguardo agli ultimi due esercizi, pensi che i calcoli del primo esercizio siano corretti?

Non capisco la domanda: vuoi sapere del primo esercizio o degli ultimi due?

Comunque per entrambe le funzioni $f(x) = xe^x $ e $f(x) = (x sin x)/(1 + x^2) $ in effetti il dominio è $D = \RR $, ma la prima è $NPND $, mentre la seconda è $P$.

$−x(−sinx)=xsinx $ è uguale per le regole di riduzione trigonometriche?

Beh sì, il punto chiave è che $sin(- x) = - sin x $, il passaggio che hai riportato è la logica conseguenza, dato che come è ben noto $- \cdot - = + $
Più in generale la regola dei segni $ - $ è la seguente:

$(-)^n = {(+ \text{ se } n \text{ è pari }),(- \text{ se } n \text{ è dispari }):} $

[Quasar3.14]

Grazie mille!

Si, hai ragione sono stato poco chiaro, mi riferivo a questo procedimento in cui dimostravo che $ f(x)=xe^x $ non è ne pari ne dispari.


$ f(x)=xe^x $

$ f(-x)=-xe^-x $
$ f(-x)=-x 1/e^x $
$ f(x)!=f(-x) $
$xe^x!=-x 1/e^x$

Disparità:

$ f(-x)=-f(x) $
$-xe^x != -x 1/e^x $

[pilloeffe]

Grazie mille!

Prego!

mi riferivo a questo procedimento in cui dimostravo che $f(x)=xe^x $ non è né pari né dispari.

Sì è corretto: per la disparità hai giustamente sfruttato il fatto che $f(-x) $ l'avevi già trovata precedentemente per determinare l'eventuale parità della funzione, quindi ti è bastato far vedere che $f(- x) \ne - f(x) = - x e^x $