Salve.
Scrivo per chiarire un dubbio riguardante il seguente integrale:
$\int_{e^2}^{e^3} \frac{\text{d}x}{x(1 - log x)(log x)^2} $
Per cominciare ho effettuato una sostituzione del log(x), dal quale ottengo un integrale razionale valutato nei nuovi estremi di integrazione cioè 3 e 2 rispettivamente.
$\int_2^3 \frac{1}{(1 - t)t^2} \text{d}t $
Tuttavia, arrivato a questo punto non riesco ad andare avanti. In particolare, consultando la soluzione
dell' esercizio, la funzione integranda viene scomposta in 3 fratti semplici:
$ A/(1-t) + B/t + C/t^2 $ mentre io l' avrei scomposta in questo modo $ A/(1-t) + B/t^2 $ escludendo il termine con il coefficiente C, ma applicando il principio di identità dei polinomi questo mi fa ottenere un sistema lineare impossibile.
Inoltre, spesso la scomposizione in fattori semplici mi accorgo di eseguirla a memoria, ma vorrei capire meglio cosa c'è dietro (in riferimento all' algebra lineare), purtroppo su Internet non ho trovato risposte esaustive, pertanto se qualcuno avesse voglia può fornirmi maggiori dettagli a riguardo.
Grazie!