Esistenza ed unicità locale (Problema di Cauchy)

[GianRigo99]

Salve, affrontando le equazioni differenziali (nella fattispecie del primo ordine) mi sono imbattuto in questo teorema alquanto “astratto” del quale non riesco proprio a tirare fuori una qualche rappresentazione visiva.
Mi spiego meglio: date una generica EDO del primo ordine in forma normale y’=F(x,y) e una condizione iniziale y0=(x0), che ruolo giocano la continuità di F in un intorno di (x0,y0) e la continuità della derivata parziale di F rispetto ad y sempre in suddetto intorno?
In realtà per quanto riguarda la prima condizione una qualche interpretazione, anche abbastanza intuitiva, è possibile darla: la continuità di F in un intorno di (x0,y0) implica la possibilità di assegnare una particolare direzione in tale punto (e conseguentemente l’esistenza di almeno una soluzione passante per quel punto).
Il punto critico mi risulta essere la seconda condizione; in che modo è proprio la continuità della derivata parziale rispetto ad y della F(x,y) che mi garantisce l’unicità di tale soluzione (e non ad esempio la derivata parziale rispetto ad x)? Esiste una qualche interpretazione grafica?
Spero di essere stato chiaro nell’esposizione dei miei dubbi

[Quinzio]

Perche' parli di derivata parziale ?
A quali condizioni di esistenza e unicita' ti riferisci in particolare ?
Ad esempio quelle spiegate qui ?
https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_d ... _di_Cauchy

Li non si parla di derivate ma di una funzione di classe $C^0$.

[Fioravante Patrone]

@GianRigo99

Ti sembra strano che siano diverse tra la "x" e la "y" le richieste su F?

No, non è strano. Le due variabili giocano un ruolo significativamente diverso. Vediamo di capirlo semplicemente ricordando cosa vuol dire che una funzione $\phi : I \to RR$ (con $I$ intervallo aperto non vuoto di $RR$) è soluzione dell'equazione differenziale:

per ogni $x \in I$, $\phi'(x) = F(x,\phi(x))$

Come vedi, mentre alla "x" tu sostituisci... la "x", alla "y" tu vai a sostituire il valore che la funzione $\phi$ assume nel punto "x".

Quindi nulla di strano che le condizioni sulla "x" siano diverse da quelle sulla "y"