Esercizi serie numeriche(criterio radice e criterio del rapporto)

[Quasar3.14]

Ciao a tutti,

continuo le mie esercitazioni con le serie. Potreste darmi un parere?

$\sum_{n=2}^{+\infty} 3^n-((n-2)/n)^(n^2)$

La serie è a termini positivi.
Utilizzo il criterio della radice.

$\lim_{n \to \infty}root(n)(3^n-((n-2)/n)^(n^2))$
$\lim_{n \to \infty} 3-((n-2)/n)^n$
$\lim_{n \to \infty} 3-(1-2/n)^n = 3 - 1/e^2 > 1$

Se non ho commesso errori la serie diverge. Il dubbio principale è se ho semplificato bene con la radice l'esponente $n^2$

Seconda serie:

$\sum_{n=1}^{+\infty} (5^n/(n^5*2^(2n)))$

Serie a termini positivi.
La riscrivo in questo modo.

$\sum_{n=1}^{+\infty} (5^n/(n^5*4^n)))$
Cerco di stabilirne il carattere con il criterio del rapporto $\lim_{n \to \infty} (a_n +1)/a_n$

Ottengo quindi

$\sum_{n=1}^{+\infty} (5^n*5)/((n+1)^5*4^n*4)*((n^5*4^n)/5^n)$

Svolgo le semplificazioni

$\sum_{n=1}^{+\infty} 5/4 * (n/(n+1))^5$ Da qui in poi ho difficoltà proseguire. Suggerimenti?

Terza serie

$\sum_{n=1}^{+\infty} 1/(3^n - n)$
Serie positiva.
Utilizzo il criterio del rapporto $\lim_{n \to \infty} (a_n +1)/a_n$
$\lim_{n \to \infty} 1/(3^n * 3 - n+1)*3^n - n$
Se non commetto errori con le semplificazioni, ottengo $1/4$ e poichè $1/4<1$ la serie converge.

Quarto e quinto esercizio

Posto insieme gli ultimi due esercizi perchè penso che entrambi mi stanno traendo in inganno. Il primo è


$\sum_{n=1}^{+\infty} n^2/n$ Semplifico denominatore e numeratore e ottengo $\sum_{n=1}^{+\infty} n$
Avendo una somma del genere posso trarre subito la conclusione che diverge senza utilizzare nessun criterio?

Il quinto esercizio invece è il seguente $\sum_{n=2}^{+\infty} 1/(sqrtnlnn^3)$
In questo caso non si tratta della serie armonica generalizzata con logaritmo in quanto la posso scrivere $\sum_{n=2}^{+\infty} 1/(n^(1/2) * lnn^3)$ ed essendo $1/2<1$ la serie diverge positivamente. È corretto?

Grazie!

[pilloeffe]

Se non ho commesso errori la serie diverge.

La serie in effetti diverge, ma di errori ne hai commessi, in particolare quella semplificazione che hai fatto grida vendetta...
Spezzando la serie in due serie, si vede subito che la prima è una serie geometrica di ragione $3 > 1 $ quindi diverge positivamente, la seconda invece converge ad un valore vicino a $0$, quindi nel complesso la serie proposta diverge positivamente.

Seconda serie:

$\sum_{n=1}^{+\infty} (5^n/(n^5*2^(2n))) $

Posto $a_n := 5^n/(n^5*2^(2n))$, la serie proposta non soddisfa la Condizione necessaria di convergenza di Cauchy $\lim_{n \to +\infty} a_n = 0 $ ed essendo a termini positivi necessariamente diverge positivamente.

Terza serie

$ \sum_{n=1}^{+\infty} 1/(3^n - n) $

Anche qui vedo degli errori, in particolare

$ \lim_{n \to \infty} (a_n +1)/a_n $

mentre l'espressione corretta è $ \lim_{n \to +\infty} (a_{n+1})/a_n $, ma la conclusione è corretta: questa terza serie è convergente. In particolare $\forall n \ge 1 $ si ha $3^n - n \ge 2^n $, sicché si ha:

$ \sum_{n=1}^{+\infty} 1/(3^n - n) \le \sum_{n=1}^{+\infty} 1/(2^n) = \sum_{n=1}^{+\infty} (1/2)^n = 1 $

Quarto e quinto esercizio

Sì, le due serie proposte divergono positivamente. Per la prima è immediato verificare che non soddisfa la Condizione necessaria di convergenza di Cauchy $\lim_{n \to +\infty} a_n = 0 $ ed essendo a termini positivi necessariamente diverge positivamente.

[Quasar3.14]

La serie in effetti diverge, ma di errori ne hai commessi, in particolare quella semplificazione che hai fatto grida vendetta...
Spezzando la serie in due serie, si vede subito che la prima è una serie geometrica di ragione $3 > 1 $ quindi diverge positivamente, la seconda invece converge ad un valore vicino a $0$, quindi nel complesso la serie proposta diverge positivamente.

Per lo svolgimento dell'esercizio ho preso spunto da un eserciziario in cui c'è un $n^2$ che viene semplificato nell'esatto modo in cui ho scritto nel primo post. Tale semplificazione però non mi convinceva, da qui la scelta di postarla sul forum per avere un parere. Ci sono diversi esercizi svolti proprio in questo modo quindi mi riesce anche difficile pensare ad un errore, non so di battitura o di stampa, nel testo

Se ho cabito bene, quindi $\sum_{n=2}^{+\infty} 3^n-((n-2)/n)^(n^2)$ la studio come se fossero due serie distinte. Da una parte $\sum_{n=2}^{+\infty} 3^n$ che è $\sum_{n=o}^{+\infty} q^n$ ed essendo in questo caso $q>=1$ diverge positivamente. Non ho capito a questo punto però come dimostrare la convergenza della seconda serie visto che la semplificazione è errata.
Se invece di una sottrazione ci fosse stata una moltiplicazione, il risultato sarebbe stata una convergenza ma lo svolgimento per dimostrarla sarebbe stato differente?

$\sum_{n=1}^{+\infty} (5^n/(n^5*2^(2n))) $

Posto $a_n := 5^n/(n^5*2^(2n))$, la serie proposta non soddisfa la Condizione necessaria di convergenza di Cauchy $\lim_{n \to +\infty} a_n = 0 $ ed essendo a termini positivi necessariamente diverge positivamente.

Però per provare il non soddisfacimento della serie devo comunque fare il limite, ma mi trovo comunque a dover applicare il criterio del rapporto(che insieme a quello della radice e del confronto sono gli unici trattati fino adesso per le serie a termini positivi) e mi ritrovo sempre a questo punto $\sum_{n=1}^{+\infty} 5/4 * (n/(n+1))^5$. Ho sbagliato i calcoli o pensi che non sia corretto utilizzare il criterio del confronto per risolvere il limite?

Anche qui vedo degli errori, in particolare

$ \lim_{n \to \infty} (a_n +1)/a_n $

mentre l'espressione corretta è $ \lim_{n \to +\infty} (a_{n+1})/a_n $, ma la conclusione è corretta: questa terza serie è convergente. In particolare $\forall n \ge 1 $ si ha $3^n - n \ge 2^n $, sicché si ha:

$ \sum_{n=1}^{+\infty} 1/(3^n - n) \le \sum_{n=1}^{+\infty} 1/(2^n) = \sum_{n=1}^{+\infty} (1/2)^n = 1 $

Pensi che anche lo svolgimento dell'esercizio sia corretto? Nel senso come sono giunto a $1/4<1$. Perchè $3^n - n \ge 2^n $ ? Cioè come sappiamo che ciò è vero?

Sì, le due serie proposte divergono positivamente. Per la prima è immediato verificare che non soddisfa la Condizione necessaria di convergenza di Cauchy $\lim_{n \to +\infty} a_n = 0 $ ed essendo a termini positivi necessariamente diverge positivamente.

Per la prima(ossia la quarta) quindi anche la semplificazione che avevo fatto diventa superflua. Calcolando il limite la serie diverge in quanto il numeratore è un infinito di ordine superiore, giusto?

La quinta invece pensi che sia corretta?

Grazie per l'aiuto.

P.S. Scusa se ho quotato tutto il tuo messaggio, in un altro topic mi è stato detto di non farlo, ma penso che in questa occasione, diventi più facile capire di quale esercizio si sta parlando.

[pilloeffe]

Non ho capito a questo punto però come dimostrare la convergenza della seconda serie visto che la semplificazione è errata.

La semplificazione è errata se pretendi che sia corretto qualcosa del tipo $\root[n]{a^n - b^{n^2}} = a - b^n $, ma non lo è se applichi il Criterio della radice alla seconda serie:

$\lim_{n \to +\infty} \root[n]{a_n} = \lim_{n \to +\infty} (1 - 2/n)^n = e^{- 2} < 1 $

Pertanto si conclude che la seconda serie è convergente. Dato però che la prima è positivamente divergente, si conclude che tale è anche la serie proposta.

Però per provare il non soddisfacimento della serie devo comunque fare il limite, ma mi trovo comunque a dover applicare il criterio del rapporto

No, non è necessario, perché si ha:

$\lim_{n \to +\infty} a_n = \lim_{n \to +\infty} 5^n/(n^5*2^(2n)) = \lim_{n \to +\infty} ((5/4)^n)/n^5 = +\infty $

dato che $5/4 > 1 $ e l'esponenziale con base maggiore di uno prevale su qualsiasi potenza di $n$

Pensi che anche lo svolgimento dell'esercizio sia corretto? Nel senso come sono giunto a $1/4 < 1 $

No, perché applicando il Criterio del rapporto si ha:

$\lim_{n \to +\infty} (a_{n+1})/a_n = \lim_{n \to +\infty} (1/(3^{n+1} - n - 1))/(1/(3^n - n)) = \lim_{n \to +\infty} (3^n - n)/(3^{n+1} - n - 1) = \lim_{n \to +\infty} (1 - n/3^n)/(3 - n/3^n - 1/3^n) = 1/3 < 1 $

Perchè $3^n−n \ge 2^n $? Cioè come sappiamo che ciò è vero?

Beh è vero, prova a dimostrarlo ad esempio per induzione. Comunque già dai primi valori di $n$ si vede che è vero e all'aumentare di $n$ aumenta sempre di più la "distanza" $d$ fra il primo ed il secondo membro della disuguaglianza:
- per $n = 1 $ si ha $ 3^1 - 1 = 2^1 \iff 2 = 2 $, $d = 2 - 2 = 0 $;
- per $n = 2 $ si ha $3^2 - 2 > 2^2 \iff 7 > 4 $, $d = 7 - 4 = 3 $;
- per $n = 3 $ si ha $3^3 - 3 > 2^3 \iff 24 > 8 $, $d = 24 - 8 = 16 $;
- per $n = 4 $ si ha $3^4 - 4 > 2^4 \iff 77 > 16 $, $ d = 77 - 16 = 61$;
e così via...

Per la prima(ossia la quarta) quindi anche la semplificazione che avevo fatto diventa superflua.

Perché superflua? invece conviene proprio farla...

Calcolando il limite la serie diverge in quanto il numeratore è un infinito di ordine superiore, giusto?

No. Qui se procedi con la semplificazione non c'è più alcun numeratore e denominatore, la serie è a termini positivi e dato che ovviamente $ \lim_{n \to +\infty} a_n = \lim_{n \to +\infty} n = +\infty $ non è soddisfatta la Condizione necessaria di convergenza di Cauchy, pertanto si conclude che la serie è positivamente divergente.

La quinta invece pensi che sia corretta?

Solo la conclusione è corretta (serie divergente), ma la serie armonica con logaritmo che hai menzionato è diversa da quella che hai perché è $\sum_{n = 2}^{+\infty} 1/(n^{\alpha} ln^{\beta} n) $ che diverge positivamente se $\alpha < 1 \vv \alpha = 1 ^^ \beta \le 1 $: per ricondurla a questa devi fare un passaggio sfruttando le proprietà dei logaritmi:

$ \sum_{n=2}^{+\infty} 1/(\sqrt{n} lnn^3) = \sum_{n=2}^{+\infty} 1/(3 \sqrt{n} lnn) = 1/3 \sum_{n=2}^{+\infty} 1/(\sqrt{n} lnn) = 1/3 \sum_{n=2}^{+\infty} 1/(n^{1/2} lnn)$

L'ultima scritta è la serie armonica generalizzata con logaritmo con $\alpha =1/2 $ e $\beta = 1 $ che in effetti è positivamente divergente. Io senza ricordarmi della serie armonica generalizzata con logaritmo avrei osservato che come ti ho già mostrato in un altro post $\forall \alpha > 0 $ si ha $ln n^{\alpha} < n^{\alpha} $ e quindi scegliendo il comodo valore $\alpha = 1/2 $ si ha $ln n < 2 n^{1/2} \iff 1/(ln n) > 1/(2n^{1/2}) $ ed applicando il Criterio del confronto all'ultima serie scritta si ha:

$ \sum_{n=2}^{+\infty} 1/(n^{1/2} lnn) > \sum_{n=2}^{+\infty} 1/(n^{1/2} 2n^{1/2}) = 1/2 \sum_{n=2}^{+\infty} 1/n $

L'ultima scritta è la serie armonica privata del primo termine ($1$, quello che si ottiene per $n = 1$), per cui si conclude che la serie proposta è positivamente divergente.

[Quasar3.14]

Ti ringrazio pilloeffe per la tua pazienza e la tua gentilezza. Le tue spiegazioni mi sono tutte chiare ma, purtroppo, continuo ad avere dei dubbi per quanto riguarda il primo esercizio.

La semplificazione è errata se pretendi che sia corretto qualcosa del tipo $\root[n]{a^n - b^{n^2}} = a - b^n $, ma non lo è se applichi il Criterio della radice alla seconda serie:

$\lim_{n \to +\infty} \root[n]{a_n} = \lim_{n \to +\infty} (1 - 2/n)^n = e^{- 2} < 1 $

Pertanto si conclude che la seconda serie è convergente. Dato però che la prima è positivamente divergente, si conclude che tale è anche la serie proposta.

Ti spiego, ho postato l'esercizio perchè pensavo fosse errato il calcolo che portava a eliminare $n^2$ con l'ausilio della radice di indice $n$. L'errore invece se ho ben compreso è dovuto al fatto che non posso semplificare con la radice di indice $n$ entrambi i valori $a^n$ e $b^(n^2)$ Perchè? Questo penso che valga anche nel caso avessi avuto $ \sum_{n=2}^{+\infty} 3^n*((n-2)/n)^(n^2) $, corretto?

L'eserciziario, in questo ultimo caso, con la radice di indice $n$ fa si che si ottiene $lim_{n}3(1-2/n)^n=3/e^2<1$ che però a quanto ho capito è errata, quanto meno nello svolgimento.

[pilloeffe]

Questo penso che valga anche nel caso avessi avuto $ \sum_{n=2}^{+\infty} 3^n*((n-2)/n)^(n^2) $, corretto?

No, se c'è la moltiplicazione invece è corretto, perché è vero che $\root[n]{a^n \cdot b^{n^2}} = a b^n $ mentre è falso che $\root[n]{a^n - b^{n^2}} = a - b^n $

[Quasar3.14]

Ok, però perdona la domanda, perchè se ho la sottrazione la semplificazione con radice dei due elementi non è possibile? Immagino che sia un errore anche particolarmente grave il mio.

[pilloeffe]

Immagino che sia un errore anche particolarmente grave il mio.

Eh sì, abbastanza: è una proprietà fondamentale dei radicali che dovresti conoscere...
Per convincertene prova a fare un esempio con i numeri:

$\root[3]{9^3 - 2^{3^2}} = \root[3]{729 - 2^9} = \root[3]{729 - 512} = \root[3]{217}$

Facendo invece la radice di ogni termine otterresti

$\root[3]{9^3} - \root[3]{2^{3^2}} = 9 - 2^3 = 9 - 8 = 1 $

[Quasar3.14]

Ti ringrazio, adesso è chiaro!