Funzioni con due variabili e punti critici

[roooxella]

Buongiorno, l'esercizio che mi viene richiesto è il seguente:

Classificare i punti critici della funzione
\[
f(x, y)=x^{3}+\left(e^{y}-1\right) x^{2}+1
\]

Determinare inoltre la derivata direzionale di \( f \) nel punto \( (1,0) \) e nella direzione della retta \( y=-x \) nel verso delle \( x \) crescenti.

Quello che mi ha destato più difficoltà è stato trovare i punti critici in seguito al calcolo delle derivate parziali per x e per y, perchè il risultato che ottengo è un punto (0,y) ma non so poi come continuare con il calcolo della matrice Hessiana. Se qualcuno può gentilmente spiegarmelo ne sarei molto grata, grazie mille a chiunque legga!

[pilloeffe]

Ciao roooxella,

La funzione proposta $z = f(x, y) = x^3 + (e^y - 1)x^2 + 1 $ ha dominio naturale $D = \RR^2 $, codominio $C = \RR $ ed è nulla nel punto $A(- 1, 0) $.
Senz'altro è positiva nel quadrante I, cioè nell'insieme $P := {(x, y) \in D : x \ge 0, y \ge 0} $

[...]punto (0, y)[...]

Risulta così anche a me. In particolare il punto $(0, 1) $ oltre ad annullare la $(\del f)/(\del y) $ annulla anche il secondo fattore della derivata rispetto a $x$: $(\del f)/(\del x) = x(3x + 2 e^y - 2) $
Nei punti del tipo $(0, y) $ la funzione proposta è costante e positiva:

$f(0, y) = 0^3 + (e^y - 1)\cdot 0 + 1 = 1 $

Non mi risulta che la funzione proposta abbia massimi o minimi relativi.
Nel punto $(1, 0) $ citato nell'OP si ha:

$f(1, 0) = 1^3 + (e^0 - 1)\cdot 1^2 + 1 = 2 $

Nei punti del tipo $ (x, 0) $ in particolare la funzione proposta diventa una cubica:

$z = z(x) = f(x, 0) = x^3 + (e^0 - 1)x^2 + 1 = x^3 + 1 $