Punto di accumulazione ed isolato

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Ciao,

volevo chiedervi una mano su alcuni concetti che non mi sono chiarissimi, parto dalle definizioni:
- punto di accumulazione:

$forall x_0 in R$ è di accumulazione per $A$ sottoinsieme di $RR$ se $forall epsilon>0$ esiste $y in A$ con $y!=x_0$ t.c $y in B(x_0,epsilon)$

cioè volendo potrei riscriverla come:

$forall x_0 in R$ è di accumulazione per $A$ sottoinsieme di $RR$ se $forall epsilon>0$ si ha che $B(x_0,epsilon)^+∩A!={}$

notazione: B+ intendo l'intorno bucato

- punto isolato:

$x_0$ è punto isolato di A se esiste $epsilon>0$ t.c $B(x_0,epsilon)^+∩A={}$

1) prima domanda: leggo su alcune fonti che il punto isolato è il "contrario" di un punto di accumulazione, mi aspetto quindi da questa considerazione che la seconda definizione sia la negazione logica del punto di accumulazione. Ma a me non pare che sia così. Sbaglio?

- punto aderente:

$forall x_0 in R$ è punto di aderenza di $A$ sottoinsieme di $RR$ se $forall epsilon>0$ esiste $y in A$ t.c $y in B(x_0,epsilon)$

2) seconda domanda: leggo che il punto di accumulazione è sempre un punto aderente, e questo è comprensibile, tuttavia poi si dice: un punto di aderenza è un punto di accumulazione oppure un punto isolato e questa cosa non la capisco. Non capisco dalla definizione da cosa si deduca che può essere isolato, e soprattutto perché può essere di accumulazione o isolato e non possa essere anche una terza opzione (cioè ad esempio non essere né di accumulazione né isolato ma una terza cosa) ma solo e soltanto una di queste due.

3) terza e ultima domanda: dice che dalla considerazione 2) un punto x0 è di aderenza di A se è un punto di accumulazione di A o se appartiene ad A. Mi è chiaro che dalla definizione sia un punto di accumulazione, inoltre dato che accetta eventuali y=x0 può anche appartenere a A stesso (cosa che nel punto di accumulazione sarebbe vietato). Tuttavia mi risulta ostico capire perché ciò discenda dal fatto che è di accumulazione oppure isolato. Non mi pare ci sia un legame tra quanto scrivo in 2) e in 3)!

Potreste aiutarmi con le 3 domande numerate? Vi ringrazio tantissimo per gli aiuti!

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Se \((X,\tau)\) è uno spazio topologico la definizione di punto di accumulazione in linguaggio formalizzato è una relazione \(\_\between\_ : X\times 2^X \to \{0,1\}\) tra $X$ e \(2^X\): è definita come
\[x\between A := \forall I \in \mathcal F_{x_0}.\exists x \in A.x \in I \setminus \{x_0\}.\] dove \({\cal F}_{x_0}\) è il filtro degli intorni del punto \(x_0\). Evidentemente allora
\[\begin{align*}
\lnot(x\between A) &= \lnot(\forall I \in \mathcal F_{x_0}\, \exists x \in A : x \in I \setminus \{x_0\})\\
&=\exists I\in\mathcal{F}_{x_0}.\lnot\exists x\in A.x \in I \setminus \{x_0\}\\
&\equiv \exists I\in\mathcal{F}_{x_0}.(A\cap I=\{x_0\})
\end{align*}
\] semplicemente manipolando i quantificatori secondo la regola (classica) \(\lnot\forall x.Px \equiv \exists x.\lnot
P x\), e poi usando il fatto che \(A\cap I=\{x_0\}\) e \(\lnot\exists x\in A.x \in I \setminus \{x_0\}\) si equivalgono (si biimplicano). Questo risponde alla prima domanda.

Per il resto: l'insieme \(\overline S\) dei punti di aderenza di un sottospazio \(S\subseteq X\) (stesse notazioni di sopra) è la chiusura di S in X, cioè l'intersezione \(\bigcap \{C\mid S\subseteq C, X\setminus C\in\tau\}\) di tutti i chiusi contenenti $S$. Da ciò è evidente che \(\overline S\) è l'unione dei punti di accumulazione e dei punti isolati di $S$ in $X$, ed è altrettanto evidente che la condizione per appartenere a \(\overline S\) (che, cioè, ogni intorno aperto di $x$ intersechi $S$) sia verificata. Questo risponde alla seconda domanda (e anche alla terza).

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Riguardo a questo:

Non capisco dalla definizione da cosa si deduca che può essere isolato, e soprattutto perché può essere di accumulazione o isolato e non possa essere anche una terza opzione (cioè ad esempio non essere né di accumulazione né isolato ma una terza cosa) ma solo e soltanto una di queste due.

Una cosa può essere vera, o il suo opposto può essere vero: c'è una terza scelta? La domanda non è banale, e sei libero di rispondere "sì", ma le conseguenze potrebbero essere bizzarre o indesiderabili.

dato che accetta eventuali y=x0 può anche appartenere a A stesso (cosa che nel punto di accumulazione sarebbe vietato)

In questa frase, ogni parola significa qualcosa; ma se le prendi tutte insieme, non succede niente, come cercare di accendere un fiammifero sotto la doccia. Sembri confuso riguardo al fatto che i punti di $S$ sono di accumulazione (e ce ne sono, eventualmente, altri, ed $S$ è chiuso se e solo se contiene tutti i suoi punti di accumulazione -o "punti di accumulare" come diceva il professore rumeno che mi ha insegnato le superfici di Riemann, per cui tra l'altro, ovviamente, il singolare di "le superfici" era "la superficia"). Leggi qui https://it.wikipedia.org/wiki/Insieme_derivato

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1)
Per la prima credo di aver più o meno inteso però avrei due domande: in analisi1 che sto seguendo non ho mai letto del filtro degli intorni quindi non so cosa sia e mi chiarisce poco. Cosa sarebbe?
La seconda cosa è che capisco la tua generalizzazione, tuttavia nella definizione classica di analisi1 si ha che:
- ∀x0∈R è di accumulazione per A ....
- x0∈A è punto isolato di A se...

per questo quindi dicevo che una non mi sembra la negazione dell'altra non tanto per i quantificatori che mi tornano ma per il fatto che x0 appartiene ad A in una delle due, e se nego la prima invece mi rimane comuqnue x0∈R. Come aggiusto questa cosa?

2)

Non capisco dalla definizione da cosa si deduca che può essere isolato, e soprattutto perché può essere di accumulazione o isolato e non possa essere anche una terza opzione (cioè ad esempio non essere né di accumulazione né isolato ma una terza cosa) ma solo e soltanto una di queste due.

ok capisco che uno è la negazione dell'altro ho compreso quello che dici sulla terza possibilità (quindi una logica diversa dalla standard), tuttavia questa cosa mi pare valida per qualsiasi punto. Cioè non è tanto una proprietà del punto di aderenza, qualsiasi punto è isolato oppure di accumulazione, sai che scoperta?¹. Perché farlo notare nei punti di aderenza non lo capisco

3)
non ho però capito una cosa, perché:
2=>3? Ossia perché:
(un punto di aderenza è un punto di accumulazione oppure un punto isolato) => (x0 è di aderenza di A se è un punto di accumulazione di A o se appartiene ad A)?
Il prof infatti ha detto che "x0 è di aderenza di A se è un punto di accumulazione di A o se appartiene ad A" si deduceva dalle considerazioni su accumulazione e isolato. Ma non mi risulta chiaro come ne discenda.

come cercare di accendere un fiammifero sotto la doccia

Sì, hai ragione ho fatto un casino.
volevo semplicemente dire che prese le due definizioni datemi di punto di accumulare e punto aderente:
- $forall x_0 in R$ è di accumulazione per $A$ sottoinsieme di $RR$ se $forall epsilon>0$ esiste $y in A$ con $y!=x_0$ t.c $y in B(x_0,epsilon)$
- $forall x_0 in R$ è punto di aderenza di $A$ sottoinsieme di $RR$ se $forall epsilon>0$ esiste $y in A$ t.c $y in B(x_0,epsilon)$
risulta evidente che: un punto x0 è di aderenza di A se è un punto di accumulazione di A o se appartiene ad A, nel senso che la seconda definizione NON richiede che i punti x0 siano diversi da y, mentre la prima si: quindi un x0 aderente rispetta la prima definizione, oppure non la rispetta solo se x0=y, ma in quel caso è ovviamente un punto che appartiene ad A

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Note

1. (se non è uno è l'altro avendo due sole possibilità, ma questo vale per ogni punto non solo per gli aderenti. Perché quindi piazzarcelo come "proprietà"? Sembra che sia una cosa speciale del punto di aderenza... ma non lo è! E confonde.) ↑

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Bumpo: potrei chiedere un aiuto sui 3 punti elencati? Mi sembravano ragionamenti corretti ma vorrei poter chiedere a qualcuno. Grazie mille