Equazione differenziale a variabili separabili (dubbio)

[limitato]

Mi è sorto un dubbione su questo tipo di equazioni differenziali.

So che una tale equazione differenziale è del tipo: $y'(t)=a(t)⋅b(y(t)) $

Ho per esercizio la: $ y'(t)=Csin(t) $

e l ho risolta considerando:$ Csint=a(t) $

Il mio dubbio nasce da una considerazione, io potrei notare che $b(y(t))$ potrebbe essere la mia $sint$ infatti sicuramente esiste come funzione $y(t)=t$ quindi se b e sin ho: $b(y(t))=sin(y(t))=sin(t)$

A questo punto però potrei seprarare come segue: $(y'(t))/(sint)=C $ quindi basta considerare y=t, da cui invertento t=y => $(y'(t))/(siny)=C $ (ho solo sostituito a t y ma tanto y è l'identità di t quindi è lecito!) però magia: non funziona... il risultato che troverei da tale separazione non coincide con quello trovato "correttamente".

Il punto però è che nessuno vieta di pensare che possa esistere (restringendo i casi delle possibili funzioni): $y(t)=t$ è a tutti gli effetti una funzione e quindi la mia ipotesi pensavo mi portasse al massimo a trovare dei sottocasi della soluzione. Invece no proprio trovo cose sbagliate.


ma perchè?

[Quinzio]

La $y(t)$ e' una incognita, e' una funzione che non conosciamo e che vogliamo trovare tra tutte le funzioni esistenti.
E' chiaro che esiste $y(t) = t$, ma quasi sicuramente non e' quella che cerchiamo e che soddisfa l'equazione.

[limitato]

Si, certo mi era chiaro che y(t)=t è una restrizione di ipotetiche soluzioni, tuttavia quello che volevo dire è che in teoria pensavo di trovare comunque una soluzione (cioè di nuovo y(t)=t) col mio ragionamento contorto.

Quindi per capire: in sostanza il ragionamento che facevo è corretto tranne per il fatto che $y(t)=t$ non è soluzione e quindi tutto il resto cessa di avere utilità.

Però se per assurdo $y(t)=t$ fosse soluzione le operazioni che ho svolto sarebbero del tutto lecite no? sbaglio?

[Quinzio]

Si, certo mi era chiaro che y(t)=t è una restrizione di ipotetiche soluzioni,

$y(t)=t$ non e' una restrizione, e' una soluzione e una soltanto.
Non so cosa intendi con "restrizione", forse pensi alle funzioni di 2 variabili, di cui prendi una restrizione, ovvero una delle tante curve che giacciono sul piano $t,y$.
Ma qui non stiamo parlando della $y'(t) = F(t, y)$, stiamo parlando della soluzione $y(t)$.
Sono due cose diverse.

tuttavia quello che volevo dire è che in teoria pensavo di trovare comunque una soluzione (cioè di nuovo y(t)=t) col mio ragionamento contorto.

Quindi per capire: in sostanza il ragionamento che facevo è corretto tranne per il fatto che $y(t)=t$ non è soluzione e quindi tutto il resto cessa di avere utilità.

Però se per assurdo $y(t)=t$ fosse soluzione le operazioni che ho svolto sarebbero del tutto lecite no? sbaglio?

In linea di principio il tuo ragionamento e' corretto.
Pero' se ipotizzi che $y(t)=t$ hai immediatamente che $y'(t)= 1$, ma il problema ti dice che $y'(t) = C \sin t$, per cui la tua ipotesi purtroppo e' durata il tempo di 10 secondi.
E' tutto qui, per il resto puoi fare tutte le ipotesi che vuoi, giuste o sbagliate che siano.

[Quinzio]

A questo punto però potrei seprarare come segue: $(y'(t))/(sint)=C $ quindi basta considerare y=t, da cui invertento t=y => $(y'(t))/(siny)=C $ (ho solo sostituito a t y ma tanto y è l'identità di t quindi è lecito!) però magia: non funziona... il risultato che troverei da tale separazione non coincide con quello trovato "correttamente".
ma perchè?

Mi correggo. No, tutto questo ragionamento non e' corretto.

Si chiama "metodo di risoluzione tramite la separazione delle variabili", pensaci un attimo.
Gia' il nome ti dice che le variabili devono essere separate.
A sinistra del segno di uguale deve comparire SOLO la $y$ con le sue derivate, e a destra SOLO la $t$ con le sue derivate eventualmente.
Altrimenti il metodo di risoluzione mediante separazione diventa inutile, no ?

Lo puoi fare, ma non e' piu' il metodo di separazione delle variabili.

[pilloeffe]

@limitato:

mi pare che tu abbia le idee un po' confuse... In merito all'Oggetto dell'OP su questo forum puoi trovare diverso materiale; potresti dare un'occhiata ad esempio alla dimostrazione qui.
Ti consiglierei anche la lettura di equazioni_differenziali_a_variabili_separabili_e_urang-utang.pdf di Fioravante Patrone, che puoi trovare sempre qui sul forum.

[limitato]

Grazie per le risposte e il link

@Quinzio:
1)
si, hai ragione, ho usato impropriamente il termine restrizione. In realtà volevo dire questo: la soluzione di una eq. differenziale è una $y(t)$ che può essere anche due funzioni diverse, e ad esempio quella stazionaria e l'altra: cioè come soluzioni posso avere due funzioni distinte; la mia idea era che se io partivo imponendo $y(t)=t$ prendevo una funzione (cioè restringevo il numero maggiore di 1 magari delle soluzioni-funzione possibili) e dicevo questa è la mia soluzione, e con questa troverò solo questa e non altre. In questo senso ristretto: se le soluzioni erano due funzioni, io ne trovo in modo ristretto solo 1.
In questo senso mi sembra avere senso, sbaglio?


2)

Mi correggo. No, tutto questo ragionamento non e' corretto.
Si chiama "metodo di risoluzione tramite la separazione delle variabili", pensaci un attimo.
Gia' il nome ti dice che le variabili devono essere separate.

vorrei chiederti un chiarimento su questo: la mia idea era però che per quanto sbagliato a monte almeno fosse corretta la separazione.
Non capisco perché dici di no, mi spiego: io separo così: $(y'(t))/(sint)=C $ evidentemente ora non è una separazione, tuttavia io so che y=t, quindi posso invertire t e otterrei la medesima funzione rapporto: $(y'(t))/(siny)=C $ ora è separata. Perché no?

[gugo82]

Scusa, ma "io so che..." perché?
Dove sta scritto?

Inoltre, quello che ti hanno assegnato è sì una EDO, ma del tipo più semplice sul mercato: una ricerca di primitive.
Infatti, il problema ti chiede di calcolare una funzione che, derivata, ti restituisce $C sin t$.
È chiaro come il sole che funzioni di questo tipo sono quelle della famiglia $-C cos t + K$ al variare di $K in RR$... Quindi perché complicare una cosa semplice?

[limitato]

Scusa, ma "io so che..." perché?
Dove sta scritto?

perché nella mia ipotesi avevo preso $y(t)=t$, ripeto, astraendo dal resto che era sbagliato mi interessava quel particolare punto perché a me pareva corretto e non capivo perché Quinzio dicesse di no.

[gugo82]

Scusa, ma "io so che..." perché?
Dove sta scritto?

perché nella mia ipotesi avevo preso $y(t)=t$, ripeto, astraendo dal resto che era sbagliato mi interessava quel particolare punto perché a me pareva corretto e non capivo perché Quinzio dicesse di no.

Prima di scrivere avresti potuto farti un'analogia...

Ad esempio, usando un esempio da primo superiore: "Ah, ho l'equazione $2x - 3 = 5$... Io so che la soluzione è $x=1$ e trovo $-1=5$, ma non funziona. Eh, chissà come mai!?! Dov'è il busillis?"

Certo che (in generale) non funziona! Stai trasformando il problema di cercare qualcosa che abbia certe proprietà in tutto un altro problema (cioè verificare se qualcosa che conosci già soddisfi certe proprietà)... E grazie che poi succede tutt'altro rispetto a quello che vorresti!


Insomma, capisco voler generalizzare, ma va fatto con criterio, non del tutto a casaccio.


P.S.: Tra l'altro, questa sarebbe una competenza matematica da sviluppare alle superiori, soprattutto allo scientifico.