E' da un po' che non faccio analisi 2 veramente, e mi è sorto un dubbio sul teorema del differenziale totale (così credo si chiami in italiano), che dice quanto segue:
Sia \(E \subseteq \mathbb{R}^n\), \( f: E \to \mathbb{R} \), e \( \mathbf{a} \in E \). Se esiste \( \delta > 0 \) tale che per ogni derivata parziale \( \frac{ \partial f}{\partial x_k} \) di \(f\) esiste in ogni punto della palla aperta \( B( \mathbf{a}, \delta) \) e \( \frac{ \partial f}{\partial x_k}(x_1,\ldots,x_k) \) è continua in \( \mathbf{a} \), allora \(f\) è differenziabile in \(\mathbf{a}\).
Il che è intuitivo perché è come se chiedessimo che la funzione \(f\) sia \(C^1\) in \( \mathbf{a} \). Però non ho mai visto la definizione di essere \(C^1\) in un solo punto, ma sempre e solo essere \( C^1\) su un aperto, quindi non so quanto senso abbia parlare di \(C^1\) solo in un punto, però penso di sì, nel senso basta dire che in \( \mathbf{a} \) la funzione ammette tutte le derivate parziali e sono continue in \( \mathbf{a}\). Ora questo teorema ci dice che non è necessario chiedere che la funzione sia \(C^1\) in un piccolo aperto attorno \( \mathbf{a}\) ma è sufficiente che le derivate parziali esistano soltanto in un intorno di \( \mathbf{a}\). Mi chiedevo se potessero arrivare i seguenti scenari
1) Una funzione \(C^1\) solo in un punto \( \mathbf{a}\), e differenziabile ma non \(C^1\) in tutte le palle centrate in \( \mathbf{a}\).
2) Una funzione tale che tutte le derivate parziali esistono in \( \mathbf{a}\) e sono continue, ma non differenziabile in \( \mathbf{a} \) poiché non esiste una palla \( B(\mathbf{a},\delta) \) tale che le derivate parziali esistono tutte in \( B(\mathbf{a},\delta) \)