Eq differenziali:metodo delle caratteristiche

[Marthy_92]

Ciao! Ho dei problemi a risolvere due sistemi di eq differenziali
che coinvolgono $ t=t(x,u) $ e $v=v(x,u) $ in un cambio variabili invertibile

$ { x^2 (\partialt)/(partialx) +xu(\partialt)/(partialu)=0, x^2 (\partialv)/(partialx )+xu(\partialv)/(partialu)=1:} $

$ { x (\partialt)/(partialx) +5/4 u(\partialt)/(partialu)=-t, x (\partialv)/(partialx )+5/4u(\partialv)/(partialu)=-v:} $

Ho cominciato dal primo sistema, con la prima equazione; integro le caratteristiche

$ dx/x^2=(du)/(xu) rArr \omega_1=u/x $

Prendo la più semplice funzione di $ omega_1 $ cioè $ t=u/x $.
Poichè la funzione $t$ dipende da entrambi gli argomenti, posso ipotizzare
per avere l'invertibilità che $v=v(x)$.
In tal modo ottengo, dalla seconda equazione del primo sistema

$ (partialv)/(partialx)=1/(x^2) rArr v=-1/x+c $

Il testo mi dice che dai due sistemi ottengo

$ { ( t=(x/u)^4 ),( v=-1/x ):} $

Non capisco come viene la $t$ in quel modo (ho provato dal secondo sistema)
Chi mi aiuta? Grazie

[gugo82]

Mi sembra un casino abbastanza inutile...

Hai quattro equazioni lineari nelle derivate parziali $t_x, t_u, v_x, v_u$, accoppiando le quali (prima equazione e prima equazione, seconda e seconda) riesci a ricavare $t_x , t_u$ e $v_x, v_u$.
Da qui ricavi $t$ e $v$.


P.S.: Queste cose di equazioni differenziali cerca di non studiarle dai libri americani, soprattutto gli esercizi, o -se proprio devi- cerca di farlo con criterio.

[pilloeffe]

Ciao Marthy_92,

Innanzitutto riscrivo per bene i due sistemi:

\begin{equation}
\begin{cases}
x^2 \dfrac{\partial t}{\partial x} + xu \dfrac{\partial t}{\partial u} = 0\\
x^2 \dfrac{\partial v}{\partial x} + xu \dfrac{\partial v}{\partial u}= 1
\end{cases}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{cases}
x \dfrac{\partial t}{\partial x} + \dfrac{5}{4} u \dfrac{\partial t}{\partial u} = - t\\
x \dfrac{\partial v}{\partial x} + \dfrac{5}{4} u \dfrac{\partial v}{\partial u} = - v
\end{cases}
\end{equation}

In tal modo ottengo, dalla seconda equazione del primo sistema

$ (partialv)/(partialx)=1/(x^2) \rArr v=-1/x+c $

Questa soluzione che hai ottenuto soddisfa anche la seconda equazione del secondo sistema se $c = 0 $, che corrisponde alla soluzione fornita dal testo.

Prendo la più semplice funzione di $\omega_1$ cioè $t=u/x $.

Questa soluzione invece soddisfa la prima equazione del primo sistema che è omogenea, ma non la prima del secondo sistema che omogenea non è, quindi direi che la soluzione del sistema è una funzione di $\omega_1 = u/x$
Il metodo delle caratteristiche inventato da Bernhard Riemann prevede di porre $t(s) = t(x(s), u(s)) $ dalla quale si ottiene

$ \frac{\text{d}t}{\text{d}s} = \frac{\text{d}x}{\text{d}s} t_x + \frac{\text{d}u}{\text{d}s} t_u $

Ne segue che $ \frac{\text{d}t}{\text{d}s} = - t $, $ \frac{\text{d}x}{\text{d}s} = x $, $ \frac{\text{d}u}{\text{d}s} = 5/4 u $ e quindi $t(s) = c_1 e^{-s} $, $x(s) = c_2 e^s $ e $u(s) = c_3 e^{5/4 s}$

Quindi in effetti supponendo per comodità unitarie tutte e tre le costanti moltiplicative si ha:

$ ((x(s))/(u(s)))^4 = ((e^s)/(e^{5/4 s}))^4 = (e^{-1/4 s})^4 = e^{- s} = t(s) = \omega_1^{-4}$

[gugo82]

Per la $t$ basta risolvere esplicitamente il sistema che dicevo più sopra:
\[
\begin{cases} x^2 t_x + xu t_u = 0\\ x t_x + \dfrac{5}{4} u t_u = - t\end{cases}\ \Rightarrow\ \begin{cases} t_x = \dfrac{4t}{x}\\ t_u = - \dfrac{4t}{u}\end{cases}\ \Rightarrow\ \begin{cases} t = x^4 \phi (u)\\ x^4 \phi^\prime (u) = - \dfrac{4x^4 \phi (u)}{u}\end{cases}\ \Rightarrow\ \begin{cases} t = x^4 \phi (u)\\ \phi (u) = \dfrac{C_1}{u^4}\end{cases}\ \Rightarrow\ t(x,u) = C_1 \left( \dfrac{x}{u}\right)^4
\]
Per la $v$, se si assume non dipenda da $u$, uguale (a occhio, ma non ho fatto i conti).