Esercizi limiti

[Quasar3.14]

Ciao a tutti, potreste darmi, per favore, un parere sui seguenti esercizi?

$\lim_{n \to \+infty}(n+lnn^2-2^n)/((lnn)^3+n^2$

È il rapporto tra la somma di diversi infiniti, in questo caso posso prendere in considerazioni solo gli infiniti più grandi, o meglio quelli che tendono ad infinito più velocemente?

In tal caso posso riscrivere $\lim_{n \to \+infty}(-2^n)/n^2$ Ho un esponenziale al numeratore ed una potenza al denominatore, quindi il limite è $-infty$, corretto?

Il secondo esercizio è $\lim_{n \to \+infty}(n^2*3^n)/(pi^n)$

Per calcolare questo limite di successione utilizzo il criterio del rapporto.

$\lim_{n \to \+infty}((n+1)^2 *3^n*3)/(pi^n*pi) * pi^n/(n^2*3^n) = \lim_{n \to \+infty} 3/pi * ((n+1)/n)^2 =3e^2/pi $

Poichè $3e^2/pi > 1$ la successione $a_n -> +infty$

È corretto lo svolgimento ed il risultato degli esercizi?

Grazie per l'aiuto.

[pilloeffe]

Ciao Quasar3.14,

quindi il limite è $−\infty $, corretto?

Sì.
Il secondo esercizio invece è errato, perché si ha:

$\lim_{n \to +\infty}(n^2 \cdot 3^n)/(\pi^n) = \lim_{n \to +\infty} n^2 \cdot (3/\pi)^n = 0 $

dato che $0 < b := 3/\pi < 1 $

[Quasar3.14]

Per il primo esercizio, è corretto quando mi trovo in situazioni simili, somme tra diversi infiniti, studiare solo gli infiniti più "grandi" ?

Grazie per il tuo prezioso aiuto

[pilloeffe]

Per il primo esercizio, è corretto quando mi trovo in situazioni simili, somme tra diversi infiniti, studiare solo gli infiniti più "grandi" ?

Sì, in realtà poi l'idea è quella di trascurare gli infiniti di ordine inferiore, per cui correttamente si scrive nel modo seguente:

$ \lim_{n \to +\infty}(n+lnn^2-2^n)/((lnn)^3+n^2) = \lim_{n \to +\infty}(-2^n)/n^2 = -\infty $

Grazie per il tuo prezioso aiuto

Prego.

[Quasar3.14]

Ciao, riporto a galla il topic a causa di questo limite, che spero aver risolto correttamente.

$ \lim_{n \to +\infty} (sqrt(n+sqrtn)-sqrtn)$

Essendoci la somma di radicali, ho optato per la razionalizzazione inversa sfruttando il prodotto notevole somma per differenza.

$ \lim_{n \to +\infty} (sqrt(n+sqrtn)-sqrtn) = \lim_{n \to +\infty} (sqrt(n+sqrtn)-sqrtn) * (sqrt(n+sqrtn)+sqrtn)/(sqrt(n+sqrtn)+sqrtn) = \lim_{n \to +\infty} sqrtn / (sqrt(n+sqrtn)+sqrtn) $

Divido sia il numeratore che il denominatore per $sqrtn$

$\lim_{n \to +\infty} sqrtn / (sqrt(n+sqrtn)+sqrtn) = \lim_{n \to +\infty} 1/ (sqrt(1 + 1/sqrtn)+1) = \lim_{n \to +\infty} =1/2$

La prima domanda è, l'esercizio è svolto correttamente secondo voi?
La seconda, se non avessi voluto utilizzare questo procedimento, ma i teoremi del confronto, come avrei dovuto impostare l'esercizio?

Grazie sempre per l'aiuto.

[gugo82]

Sì, corretto.

D’altra parte, se avessi voluto usare le approssimazioni di Taylor, avresti potuto ragionare così.
Hai:
\[
\begin{split}
\sqrt{n + \sqrt{n}} &= \sqrt{n\cdot \left( 1 + \frac{1}{\sqrt{n}}\right)} \\ &= \sqrt{n}\cdot \sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{n}}} \\ &= \sqrt{n} \cdot \left[ 1 \frac{1}{2\sqrt{n}} + \text{o} \left( \frac{1}{\sqrt{n}}\right)\right] \\ &\approx \sqrt{n} + \frac{1}{2}
\end{split}
\]
da cui, sostituendo nel limite, ritrovi il risultato.

[Quasar3.14]

Ti ringrazio per la risposta e la spiegazione.

Purtroppo non sono ancora arrivato a Taylor, dovrei iniziare tra poco il suo studio. Pensi che ci sia un modo per risolvere il limite utilizzando unicamente i teoremi del confronto(carabinieri, asintotico)?

[gugo82]

Allora limiti notevoli?

Tipo così:
\[
\begin{split}
\sqrt{n + \sqrt{n}} - \sqrt{n} & = \sqrt{n}\cdot \left(\sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{n}}} - 1\right)\\ &= \frac{\sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{n}}} - 1}{\frac{1}{\sqrt{n}}}
\end{split}
\]
da cui il risultato che già sai, poiché $lim_(x -> 0)(sqrt(1 + x) - 1)/x = 1/2$.

[Mephlip]

@Quasar3.14: Visto che hai citato il teorema dei due carabinieri, propongo un approccio basato su di esso che non usa né limiti notevoli né derivate. Essendo \(\sqrt{n}>0\) per ogni \(n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}\), dal fatto che la radice quadrata è strettamente crescente segue:\[
\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+\sqrt{n}}+\sqrt{n}}<\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}=\frac{1}{2}
\]Ora, dimostra che per ogni \(n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}\) è \(\sqrt{n+\sqrt{n}}<1+2\sqrt{n}\) e concludi.

[Quasar3.14]

Grazie mille per il vostro aiuto!