Domanda sui campi vettoriali

[marcopulv19]

Salve.
Non riesco a capire due cose
1) Come fa un campo irrotazionale a non essere conservativo
2) Come fa un campo incomprimibile a non essere solenoidale

Mi basterebbero due esempi di campi, magari in R2, per capire.
Il dubbio deriva soprattutto dal fatto che per i teoremi della divergenza e del rotore, facendo circuitazione e flusso (su superficie chiusa) del campo f(x,y), localmente è proprio esprimibile (rispettivamente) come divergenza e come rotore, e in entrambi casi essendo nulli, dovrebbe essere nullo anche l'integrale...

[Fioravante Patrone]

Rispondo solo alla prima domanda (la risposta alla seconda è similare)


Come fa?

1. farcela, ce la fa: $(-y/(x^2+y^2),x/(x^2+y^2))$

2. a spanne, l'essere irrotazionale è una proprietà locale (riguarda delle derivate), per cui non è troppo sorprendente che un campo irrotazionale sia localmente conservativo (idem, è roba di derivate)

3. il problema è "appiccicare" tra di loro i vari intorni, per passare al fatto di essere globalmente conservativo. Se il dominio ha "buchi" (vedi, non a caso, il punto 1.), può essere che non ci si riesca

[marcopulv19]

Ciao, grazie
1. Che "ce la fa" non lo metto in dubbio, come fa significava non capisco ahaha
2. Quindi la funzione che mi hai dato tu è conservativo ovunque tranne che in (0,0)?

Ma quindi il teorema del rotore vale per tutti i domini che non contengano singolarità?
Ad esempio se volessi fare la circuitazione del campo, questo è uguale al flusso del rotore attraverso la superficie interna al circuito SOLO se prendo circuiti che non contengono (0,0)?

Perdona lo scarso formalismo e se scrivo a parole...ste cose le usiamo in fisica senza averle mai spiegate...

[marcopulv19]

Salve, torno nel merito, sono ancora nel mezzo del corso quindi lungi dall'avere chiaro gli argomenti.

Il campo elettrostatico generato da una carica elementare viene presentato come conservativo durante il corso di fisica. Visto ciò che anche Fioravante ha detto, questo non è corretto...o sbaglio? Questo ha un buco in (0,0,0) quindi non semplicemente connesso e quindi non è conservativo.

E' chiaramente irrotazionale, comunque. Tuttavia, una definizione di campo conservativo è anche quella che afferma che posso esprimerlo come gradiente di una funzione(potenziale) scalare. Ed infatti è cosi, per il campo elettrostatico...

[Lebesgue]

$ \RR^3 $

Salve, torno nel merito, sono ancora nel mezzo del corso quindi lungi dall'avere chiaro gli argomenti.

Il campo elettrostatico generato da una carica elementare viene presentato come conservativo durante il corso di fisica. Visto ciò che anche Fioravante ha detto, questo non è corretto...o sbaglio? Questo ha un buco in (0,0,0) quindi non semplicemente connesso e quindi non è conservativo.

E' chiaramente irrotazionale, comunque. Tuttavia, una definizione di campo conservativo è anche quella che afferma che posso esprimerlo come gradiente di una funzione(potenziale) scalare. Ed infatti è cosi, per il campo elettrostatico...

Qui entriamo nel merito della topologia algebrica: attento che togliere un punto da $\RR^2$ e da $\RR^3$ sono cose ben diverse.
Ricorda che una caratterizzazione dei campi conservativi è anche che il lavoro compiuto dal campo lungo un qualsiasi cammino chiuso dev'essere nullo.
Ricordiamo inoltre che vale sempre che conservativo implica irrotazionale, mentre il viceversa vale solo nei domini semplicemente connessi.
Molto brutalmente, un dominio è semplicemente connesso se, preso un qualsiasi cammino chiuso, lo riesco sempre a "schiacciare" ad un solo punto.
Se togliamo un punto da $\RR^2$ (ad esempio l'origine), e prendiamo un laccio attorno al punto tolto (cioé una circonferenza intorno l'origine), questo non riusciamo a "schiacciarlo" ad un punto, infatti $\RR^2$ meno un punto non è semplicemente connesso, in quanto si retrae per deformazione sulla circonferenza unitaria.
Se provi a calcolare il lavoro del campo di Fioravante lungo la circonferenza di centro l'origine e raggio 1, ti verrà un valore diverso da zero, dunque quel campo non è conservativo.

Le cose sono ben diverse in $\RR^3$, dove hai una dimensione in più.
Togliamo ad esempio l'origine da $\RR^3$ e prendiamo una circonferenza che gira attorno l'origine. Domanda: questa circonferenza riusciamo a schiacciarla ad un punto? Sì, perché ho una dimensione in più appunto.
Difatti $\RR^3$ meno un punto è semplicemente connesso dato che si retrare per deformazione sulla sfera.
Dunque non è vero che ogni dominio "con buchi" non è semplicemente connesso, dipende da com'è fatto.
Per avere un dominio non semplicemente connesso in dimensione 3, si può ad esempio considerare $\RR^3$ meno una retta: questo non è semplicemente connesso.