Sup di una funzione di due variabili

[Mephlip]

Sì, è il minimo dei maggioranti. Con quella disuguaglianza ho dimostrato che \(2\) è un maggiorante per l'immagine di \(f\), ma questo dimostra solamente che \(f\) è limitata superiormente da \(2\) e quindi che l'estremo superiore dell'immagine di \(f\) non è \(+\infty\); mancherebbe da dimostrare che \(2\) è il minimo dei maggioranti, ma ciò è falso e quindi risulterebbe un po' difficile dimostrarlo. Quell'argomento era solo per mostrare che l'estremo superiore non è \(+\infty\).

Per il resto, concordo con ghira. Non si capisce che intendi con: "Essendo l'insieme di definizione brutalmente \(+\infty\)", e non si capisce perché questa frase non ha senso matematico. L'insieme di definizione è appunto un insieme, non un punto come lo è in questo caso il simbolo \(+\infty\). Forse, volevi intendere che essendo l'insieme di definizione illimitato e potendo \(x\) e \(y\) diventare arbitrariamente grandi mantenendosi positive allora l'estremo superiore dell'immagine di \(f\) in \((0,+\infty)^2\) è \(+\infty\); ma non possiamo sapere cosa intendevi dire (e comunque, anche se intendevi ciò, è falso: pensa alla funzione \(x \mapsto \sin x\) definita su \(\mathbb{R}\)).

Insomma, devi essere estremamente precis* quando ti esprimi in un problema di matematica: anche le tecniche che vuoi usare devono essere supportate da teoremi dimostrati. Altrimenti, non svilupperai una conoscenza solida. Sei partit* volendo calcolare un limite, ma cosa ti assicura che tale limite coincida con l'estremo superiore? In certi casi questo è vero (ad esempio, per funzioni di una variabile monotòne crescenti su un intervallo aperto \((a,b)\) e nel limite per \(x \to b^-\)), ma non è vero sempre.

L'idea di dimostrare che esiste il massimo di \(f\) in quell'insieme (e che quindi l'estremo superiore di \(f\) in quell'insieme coincide con il massimo) è buona: per farlo, o procedi con conti (moltiplicatori di Lagrange o altre cose così), oppure usi il suggerimento che ti ho dato prima.

[m.e._liberti]

Okay… ci provo, grazie!!

[pilloeffe]

Ciao m.e._liberti,

Si potrebbe anche sfruttare l'omogeneità della funzione, per cui se $x \ne 0 $ si può scrivere:

$z = f(x, y) = \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}} = \frac{1 +\sqrt{y/x}}{\sqrt{1+y/x}} = \frac{1 +\sqrt{t}}{\sqrt{1+t}} $

con ovvia definizione di $t$. Si vede subito che la funzione di una variabile $z = z(t) $ ha un massimo che vale $\sqrt2 $ per $t = 1 $, un minimo che vale $1$ per $t = 0$

[gugo82]

Dalla disuguaglianza tra media aritmetica e quadratica:

$(a + b)/2 <= sqrt((a^2 + b^2)/2)$

(in cui vale l'uguaglianza solo se $a = b >= 0$), ponendo $a = sqrt(x)$ e $b = sqrt(y)$, si ricava:

$(sqrt(x) + sqrt(y))/2 <= (sqrt(x + y))/sqrt(2) => f(x,y) <= sqrt(2)$,

sicché $sqrt(2)$ è un maggiorante di $f$; d'altra parte, $f(1,1) = sqrt(2)$, quindi $sqrt(2) = max f$.

[m.e._liberti]

Grazie mille, chiarissimi <3