Sup di una funzione di due variabili

[m.e._liberti]

Salve. Devo determinare il sup di $f(x,y)=(sqrtx+sqrty)/(sqrt(x+y))$ per $x,y>0$. So che dovrebbe essere infinito, ma non riesco a farlo vedere praticamente. Calcolo $lim_((x,y)->\infty)f(x,y)$?

[ghira]

Salve. Devo determinare il sup di $f(x,y)=(sqrtx+sqrtx)/(sqrt(x+y))$ per $x,y>0$. So che dovrebbe essere infinito, ma non riesco a farlo vedere praticamente. Calcolo $lim_((x,y)->\infty)f(x,y)$?

$(sqrtx+sqrtx)$? Dovrebbe essere $(sqrtx+sqrty)$?

[m.e._liberti]

Sì, ora ho corretto

[otta96]

Ma sei sicuro che dovrebbe fare infinito?

[Mephlip]

Infatti è falso, l'estremo superiore non è \(+\infty\). Per ogni \(x>0\) e per ogni \(y>0\), è:\[
0<\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}} < \frac{\sqrt{x+y}+\sqrt{x+y}}{\sqrt{x+y}}= 2
\]
@m.e._liberti: Suggerimento: dimostra che per ogni \(x \ge 0\) e per ogni \(y \ge 0\) è \(\sqrt{x}+\sqrt{y} \le \sqrt{2}\sqrt{x+y}\).

[m.e._liberti]

Ma sei sicuro che dovrebbe fare infinito?

No, credevo io che facesse infinito...

[m.e._liberti]

Per ogni \(x>0\) e per ogni \(y>0\), è:\[
0<\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}} < \frac{\sqrt{x+y}+\sqrt{x+y}}{\sqrt{x+y}}= 2
\]

Non è sufficiente scrivere questo?

[Mephlip]

No. Che significa che un certo numero è estremo superiore per una funzione?

[m.e._liberti]

Che è il più piccolo dei maggioranti... Però non so dimostrarlo. Ho pensato che essendo l'insieme di definizione brutalmente $+\infty$, il sup coincide con il max. Questo potrebbe essere utile?

[ghira]

Che è il più piccolo dei maggioranti... Però non so dimostrarlo. Ho pensato che essendo l'insieme di definizione brutalmente $+\infty$, il sup coincide con il max. Questo potrebbe essere utile?

Non so cosa intendi ma comunque no.