Studio della funzione integrale - I... VI

[winter74]

Io ho: $F(x)=int_1^x e^(-t^2)dt$

Devo calcolare $F'(0)$

Vale 1 o -1?

[gugo82]

Usa il teorema fondamentale del calcolo integrale.

[winter74]

Usa il teorema fondamentale del calcolo integrale.

E' il teorema che ho utilizzato; ma x=0, in cui calcolo il valore cercato, è < dell'estremo inferiore dell'integrale, pari ad 1; mi viene il dubbio, insomma, di dover cambiare segno all'integrale.

[gugo82]

Il teorema ti assicura che la derivata di \( \displaystyle \int_1^x e^{-t^2}\ \text{d} t \) è \( \displaystyle e^{-x^2} \) dove l'integrando è continuo... Quindi non c'è nessun problema di segno.

[winter74]

Il teorema ti assicura che la derivata di \( \displaystyle \int_1^x e^{-t^2}\ \text{d} t \) è \( \displaystyle e^{-x^2} \) dove l'integrando è continuo... Quindi non c'è nessun problema di segno.

Grazie.

[chicca86]

Ho bisogno di trovare il dominio della funzione:
$F(x)=\int_{x}^{1-2x} cos(t)/(t+t^2) dt$
Chi mi dà una mano? Grazie

[gugo82]

Prova a postare qualche tua idea (cfr. regolamento, 1.2-1.5, e questo avviso). Grazie.

[chicca86]

la funzione integranda tende all'infinito, in valore assoluto, per t che tende a 0 e per t che tende -1. Quindi questi sono i due valori che dobbiamo eliminare dal dominio.Ho quindi tre intervalli a cui pensare: da -infinito a -1, da -1 a 0, o da 0 a +infinito.
Ciò che mi lascia perplessa sono gli estremi di integrazione, entrambi dipendenti da x. Se penso a cosa rappresentano nel piano vedo due rette che si intersecano per x=1/3. C'entra qualcosa questo valore o no? E quindi a quale intervallo limito il dominio. Oppure prendo gli estremi di integrazione che dipendono da x e impongo che siano diversi da 0 e -1?!
grazie se vorrai darmi qualche dritta

[gugo82]

In effetti lo studio è un po' rompiscatole.

Innanzitutto, sai che se \(a<b\) allora \( \displaystyle \int_b^a f(t)\ \text{d} t =-\int_a^b f(t)\ \text{d} t \) ; questo, ovviamente, vale anche se gli estremi dipendono da un parametro. Quindi la tua \( \displaystyle F(x) \) è "potenzialmente" definita per casi, perchè bisogna distinguere quando gli estremi sono messi nell'ordine giusto, ossia quando \( \displaystyle x\leq 1-2x \) , da quando essi sono messi nell'ordine inverso, cioè quando \( \displaystyle x\geq 1-2x \) : dato che \( \displaystyle x\leq 1-2x \) se e solo se \( \displaystyle x\leq \tfrac{1}{3} \) , puoi cominciare a scrivere molto preliminarmente:

\[F(x):=\begin{cases} \int_x^{1-2x} \frac{\cos t}{t(t+1)}\ \text{d} t &\text{, per gli } x\leq \tfrac{1}{3} \text{ per i quali l'integrale è finito} \\ -\int_{1-2x}^x \frac{\cos t}{t(t+1)}\ \text{d} t &\text{, per gli } x\geq \tfrac{1}{3} \text{ per i quali l'integrale è finito}\end{cases} \; .\]

Ora si tratta di stabilire quali sono i punti in cui l'integrale è finito.
L'integrando è un infinito d'ordine \( \displaystyle \alpha =1 \) in \( \displaystyle 0 \) ed \( \displaystyle -1 \) (che sono gli unici punti di discontinuità), ergo esso non è sommabile in alcun intervallo che abbia almeno uno tra \( \displaystyle 0 \) ed \( \displaystyle -1 \) come punto di accumulazione; ne consegue che l'integrale che definisce \( \displaystyle F(x) \) è finito se e solo se \( \displaystyle x \) soddisfa uno tra i seguenti sistemi:

\(\begin{cases} x\leq \frac{1}{3} \\ -1<x \\ 1-2x<0\end{cases}\) oppure \( \begin{cases} x\leq \frac{1}{3} \\ 0<x \end{cases}\) oppure \(\begin{cases} x\geq \frac{1}{3} \\ -1<1-2x \\ x<0\end{cases}\) oppure \( \begin{cases} x\leq \frac{1}{3} \\ 0<1-2x\end{cases}\);

si vede che il primo ed il terzo non hanno soluzioni, mentre il secondo ed il quarto hanno soluzioni:

\( \displaystyle \begin{cases} x\leq \frac{1}{3} \\ x>0\end{cases} \) oppure \( \displaystyle \begin{cases} x\geq \frac{1}{3} \\ x<\frac{1}{2}\end{cases} \) .

Quindi:

\[ F(x):=\begin{cases} \int_x^{1-2x} \frac{\cos t}{t(t+1)}\ \text{d} t &\text{, per } 0<x\leq \tfrac{1}{3} \\ -\int_{1-2x}^x \frac{\cos t}{t(t+1)}\ \text{d} t &\text{, per } \tfrac{1}{3}\leq x<\tfrac{1}{2}\end{cases}\; ;\]

dato che per \(0<x\leq \tfrac{1}{3}\) [risp. \(\tfrac{1}{3}\leq x<\tfrac{1}{2}\)] si ha \(0<x\leq 1-2x<1\) [risp. \(0<1-2x\leq x<\tfrac{1}{2}\)] e l'integrando è \( \displaystyle \geq 0 \) in \( \displaystyle [0,\tfrac{\pi}{2}] \) , si ha \( \displaystyle F(x)\geq 0 \) in \( \displaystyle [0,\tfrac{1}{3}] \) ed \( \displaystyle F(x)\leq 0 \) in \( \displaystyle [\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{2}] \) ; inoltre, dato che l'integrando non è sommabile ed ha segno costante, si ha certamente:

\( \displaystyle \lim_{x\to 0^+}F(x)=+\infty \) e \( \displaystyle \lim_{x\to (\tfrac{1}{2})^-} F(x)=-\infty \) .

Usando il TFCI si può calcolare facilmente la derivata di \( \displaystyle F(x) \) :

\( \displaystyle F^\prime (x)=-\frac{\cos (1-2x)}{(1-2x)(1-x)} -\frac{\cos x}{x(x+1)} \)

per \( \displaystyle x\neq \tfrac{1}{3} \) e, dato che sono soddisfatte le ipotesi del teorema di Darboux, \( \displaystyle F(x) \) è derivabile pure in \( \displaystyle \tfrac{1}{3} \) e:

\( \displaystyle F^\prime (\tfrac{1}{3}) =\lim_{x\to \tfrac{1}{3}} F^\prime (x) \) ;

conseguentemente \( \displaystyle F(x) \) è di classe \( \displaystyle C^1 \) in \( \displaystyle ]0,\tfrac{1}{2}[ \) ; inoltre poiché \(0<x,1-2x,1-x<1<\tfrac{\pi}{2}\) e quindi \(\cos x,\cos (1-2x)>0\), si ha certamente \( \displaystyle F^\prime(x)<0 \) in \( \displaystyle ]0,\tfrac{1}{2}[ \) , ergo \( \displaystyle F(x) \) è strettamente decrescente.

Queste informazioni sono già sufficienti a tracciare un grafico di massima.

[chicca86]

ti ringrazio tantissimo, mi hai dato oltre la dritta che chiedevo. Mi resta solo il dubbio sui due limiti di F(x), poi il resto mi sembra chiaro. Mi cimenterò su altre e se posso postare delle soluzioni lo farò sicuramente, l'argomento non è dei più banali....direi. Grazie mille