Studio della funzione integrale - I... VI

[chicca86]

Ho un altro problema: determinare il limite di x tende a + infinito di $1/x(f(x))$ dove $f(x)$ è la seguente:
$f(x)=\int_{1}^{x}2/(t^2+sen^2(t))dt$
Se calcolo il limite dell'integrale, ottengo un integrale improprio maggiorabile con un integrale che converge a 2 quindi anche il mio integrale di partenza converge. Posso concludere che il limite richiesto va a 0?

[gugo82]

Se la \( \displaystyle f(x) \) è limitata (e lo è, perchè \( \displaystyle t^2+\sin^2 t\geq t^2 \) dunque \( \displaystyle 0\leq f(x)\leq \int_1^{+\infty} \frac{2}{t^2}\ \text{d} t=2 \) ), allora è evidente che \( \displaystyle \lim_{x\to +\infty} \tfrac{1}{x} f(x)=0 \) .

[fireball]

E' una mia impressione o i post iniziali di questo topic, ora che abbiamo questo nuovo forum, sono incomprensibili?

[Seneca]

No, non è una tua impressione...

[anonymous_be1147]

C'è sicuramente qualche simbolo di dollaro in più o in meno nel post che confonde MathJax. Se possibile usate il pulsante "segnala il messaggio", così qualche moderatore può correggere direttamente il post, oppure segnalatelo via PM all'autore. Grazie.

[fireball]

Ci sarebbero da sistemare anche le varie formule di cui si vede il codice LaTeX "riquadrato", che compaiono in vari post di questo topic.

[whitelocust]

ciao a tutti,
ho un problema con il grafico di un integrale definito in un intervallo:
$ F(0,x)=int_(0)^(x) ((t-[t])(t+[t])-(t)^+)dt $ $ [-2,2] $

io ho studiato e trovato il grafico della funzione integranda nei vari intervalli, dunque:

$ t^2 - 4 $ tra $ -2<=t<-1 $ la cui primitiva dovrebbe essere $t^3/3-4t$
$ t^2 - 1 $ tra $ -1<=t<0 $ la cui primitiva dovrebbe essere $t^3/3-t$
$ t^2 - t $ tra $ 0<=t<1 $ la cui primitiva dovrebbe essere $t^3/3-t^2/2$
$ t^2 - t - 1$ tra $ 1<=t<2 $ la cui primitiva dovrebbe essere $t^3/3-t^2/2-t$
$ -2$ per $ t=2 $ la cui primitiva è $ -2t $

il mio problema è che non riesco a disegnare il grafico dell'integrale, non riesco a capire come integrare l'integranda tra i vari intervalli..

qualcuno di voi può mica darmi qualche dritta o spiegarmi passo per passo?

grazie mille

[Reuel]

ciao a tutti sono nuovo del forum ed ho già una prima domanda che riguarda lo studio di funzioni integrali o meglio un esercizio che ho problemi a risolvere.
ho seguito i procedmenti e in pratica l'ho risolto vorrei solo capire se ho fatto bene quindi vi chiedo di postare una vostra soluzione o di farmi notare gli errori
questo è l'esercizio
$ int_(0)^(x) e^{-|t| } / sqrt(1+t) $
il C.E. $ [-1;+oo [ $
ho controllato la sommabbilità a -1 e risulta che il limite è $ 1/e $ sommabile per $ α=1/2 $
poi ho controllato la sommabilità a $ +oo $ risulta che il limite è 0 ed è sommabile per $ α>1 $
$ F′(x)=e^{-|x| } /sqrt(1+x) $ sempre $ > 0 $
$ F"((x) $ $ = $ $ -1 / (e^{|x| } sqrt(1+x)) $ $ -1 / (e^{|x| } 2sqrt((1+x)^(3) )) $ sempre $ < 0 $

[uldi]

Buongiorno, vi propongo un esercizio (che dovrebbe essere abbastanza semplice) di cui però non ho le soluzioni, né un qualche confronto possibile visto che sono argomenti che a lezione abbiamo trattato poco o nulla (quindi ne approfitto anche per qualche domanda )

Dunque, devo trovare i punti di massimo e di minimo (relativi ed assoluti) della funzione $F(x) = \int_x^(x+1)e^(-t^2)dt$
Allora: prima di tutto riscrivo $F(x)$ come $F(x) = \int_0^(x+1)e^(-t^2)dt - \int_0^xe^(-t^2)dt$. A questo punto so che $f(t)$ è continua in $RR$, dunque, per il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale, vale che $F '(x) = f(x)$ $AA x in RR$, dunque $F '(x) = f(x+1) - f(x) = e^(-(x+1)^2) - e^(-x^2)$. Vedo quindi che la derivata si annulla in $x=1/2$ e che è positiva per $x<1/2$, dunque $F(x)$ ha un punto di massimo per $x=1/2$.

Fin qui è giusto? A me pare plausibile, anche confrontando con un grafico di $f(t)$.

Mi chiedo però: come mi comporto all'infinito? Intuitivamente mi verrebbe da dire che l'integrale sia nullo ($f(t)$ è un infinitesimo abbastanza forte per $t$$rarr$$oo$) e dunque $F(x)$ limitata, con massimo $F(1/2)$, ed estremo inferiore (posso parlare di minimo in questo caso?) $0$.

Come lo dico però in modo "formale"? Ho fatto degli svarioni indicibili? Grazie per le eventuali risposte

[Tagliafico]

I problemi sorgono quando la discontinuità in $c$ è di seconda specie oppure quando uno dei due limiti destro o sinistro della $f$ in $c$ non esiste (ma anche quando non esistono entrambi non è una bella situazione! ).

come si potrebbe quindi trovare una funzione $f$ discontinua (di seconda specie) non integrabile il cui valore assoluto $|f|$ è integrabile?

so che esiste di sicuro una funzione del genere, e suppongo non possa essere una funzione con discontinuità di prima specie, perché basta eliminare quella discontinuità per risolvere la situazione. per cui pensavo potesse essere una funzione discontinua di seconda specie, però non trovo un esempio.

mi pare che una cosa del tipo $f(x)={(1 larr x in Q),(-1 larr x in R-Q):}$

ma non sono certa possa andare