da gugo82 » 08/02/2013, 11:59
Innanzitutto, nota che l'integrando si prolunga con continuità in \(0\), quindi \(0\) non dà problemi in quanto ad integrazione; gli unici problemi, casomai, vengono quando l'estremo d'integrazione \(|x|\) prende il valore \(1\).
Ad ogni modo, nota che la tua funzione è composta da:
\[
\Phi(y):= \int_0^y \frac{e^t -1}{t\sqrt{1-t}}\ \text{d} t \qquad \text{e} \qquad h (x)=|x|
\]
in modo che:
\[
f(x):= \Phi (h(x))\; .
\]
La funzione \(\Phi\) è la funzione integrale di punto iniziale \(0\) della funzione \(\phi (y):= \frac{e^y -1}{y \sqrt{1-y}}\); la \(\phi\) è definita in \(]-\infty ,0[\cup ]0,1[\) ma si prolunga con continuità su \(0\) ponendo \(\phi (0)=1\); continuando a denotare con \(\phi\) il prolungamento a tutto \(]-\infty, 1[\), notiamo che \(\phi\) è un infinito in \(1\) d'ordine \(1/2\), quindi sommabile a sinistra di \(1\); d'altra parte, essa è infinitesima in \(-\infty\) d'ordine \(3/2\), quindi sommabile pure all'infinito.
Conseguentemente, \(\Phi\) è definita in \(]-\infty, 1]\) ed ha limite finito in \(-\infty\).
La funzione composta \(f(x)=\Phi (h(x))\) è allora definita ogniqualvolta \(h(x)\in \operatorname{Dom} \Phi\), ossia per ogni \(x\) tale che \(|x|\leq 1\); ne consegue che \(\operatorname{Dom} f=[-1,1]\).
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)