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Grazie
Sergio
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Limiti
da pserj » 11/02/2003, 18:59
Qualcuno mi può aiutare a risolvere questi limiti?
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da lupo grigio » 12/02/2003, 11:51
caro Sergio
per il calcolo dei limiti di una funzione di due variabili occorre procedere con qualche cautela poiché è un terreno assai più insidioso di quello percorso nel caso di una funzione di una sola variabile. In particolare è utile ricordarsi della definizione di limite in questo caso che è la seguente:
<font color=red>Sia f(x,y) una funzione definita in un campo A e sia (xo,yo) <u>un punto interno ad A</u>. La funzione f(x,y) ammette limite l per (x,y) tendente a (xo,yo) quando preso ad arbitrio un numero e>0 è possibile determinare un d>0 in modo che per tutti gli (x,y) di A che appartengono ad un intorno circolare centrato in (xo,yo) e di raggio d valga la disuguaglianza
|f(x,y) – l| < e
In modo analogo si dice che la funzione f(x,y) tende a infinito [+00 o –00] per (x,y) tendente a (xo,yo) quando preso ad arbitrio un numero M>0 è possibile determinare un d>0 in modo che per tutti gli (x,y) di A che appartengono ad un intorno circolare centrato in (xo,yo) e di raggio d valga la disuguaglianza
|f(x,y)| > M </font id=red>
E’ essenziale in entrambi i casi che la funzione sia definita <u>in tutti i punti di un intorno circolare centrato in (xo,yo) e raggio d</u>, e ciò significa che il limite di una funzione di due variabili [a differenza del caso della funzione ad una sola variabile] <u>non può essere definito se (xo,yo) è un punto della frontiera di A</u>.
In genere conviene [cosa sempre possibile mediante un opportuno cambio di variabili] fare in modo che il punto (xo,yo) coincida con l’origine [ossia x=y=0] e operare il passaggio dalle coordinate cartesiane alle coordinate polari ponendo...
x= r cos (theta) y= r sin(theta) con r>0 e –pi < theta< = pi [1]
… e cercare poi il limite di f(r,theta) per r che tende a 0, <u>controllando che questo sia lo stesso per qualunque valore di theta</u>.
Ciò premesso esaminiamo la prima delle funzioni da te proposte…
(x^2*y-y^3)/(x^2+y^2) = y*(x^2-y^2)/ (x^2+y^2)= r*sin (theta)* r^2*[cos^2(theta)-sin^2(theta)]/r^2=
= r*sin(theta)* [cos^2(theta)-sin^2(theta)] [2]
E’ evidente che il limite per r che tende a 0 è 0 per qualunque valore assunto da theta.
Tralasciando per il momento la seconda veniamo alla terza…
(x^4+x*y^3)/sin(x^2+y^2)= x* (x^3+y^3)/sin (x^2+y ^2)= r*cos(theta)*r^3*[cos^3(theta)-sin^3(theta)]/sin(r^2)=
= r^2*[r^2/sin(r^2)]*cos(theta)*[cos^3(theta)-sin^3(theta)] [3]
Tenendo in conto che il termine r^2/sin(r^2) tende a 1 per r->0 si vede chiaramente che il limite cercato è 0 per qualunque valore assunto da theta.
Venendo ora alla quarta funzione, se applichiamo lo sviluppo della funzione cos(t) in serie di Taylor otteniamo da prima…
cos(x^2*y^2)= 1 – ½ * x^4*y^4+… [4]
da cui…
1-cos(x^2*y^2)= ½ * x^4*y^4-… [5]
Se operiamo la sostituzione di variabili la funzione diviene…
[1-cos(x^2*y^2)]/(x^2+y^2) = ½* x^4*y^4/(x^2+y^2)-… = ½ * r^8*cos^4(theta)*sin^4(theta)/r^2-…=
= ½*r^6*cos^4(theta)*sin^4(theta)-… [6]
E’ evidente anche in questo caso che il limite cercato è 0 per qualunque valore assunto da theta.
Venendo infine alla seconda funzione si osserva subito che, essendo definita nel semipiano in cui è y>1, il punto (0,1) è un punto di frontiera e pertanto il limite della funzione non esiste.
cordiali saluti!…
lupo grigio
per il calcolo dei limiti di una funzione di due variabili occorre procedere con qualche cautela poiché è un terreno assai più insidioso di quello percorso nel caso di una funzione di una sola variabile. In particolare è utile ricordarsi della definizione di limite in questo caso che è la seguente:
<font color=red>Sia f(x,y) una funzione definita in un campo A e sia (xo,yo) <u>un punto interno ad A</u>. La funzione f(x,y) ammette limite l per (x,y) tendente a (xo,yo) quando preso ad arbitrio un numero e>0 è possibile determinare un d>0 in modo che per tutti gli (x,y) di A che appartengono ad un intorno circolare centrato in (xo,yo) e di raggio d valga la disuguaglianza
|f(x,y) – l| < e
In modo analogo si dice che la funzione f(x,y) tende a infinito [+00 o –00] per (x,y) tendente a (xo,yo) quando preso ad arbitrio un numero M>0 è possibile determinare un d>0 in modo che per tutti gli (x,y) di A che appartengono ad un intorno circolare centrato in (xo,yo) e di raggio d valga la disuguaglianza
|f(x,y)| > M </font id=red>
E’ essenziale in entrambi i casi che la funzione sia definita <u>in tutti i punti di un intorno circolare centrato in (xo,yo) e raggio d</u>, e ciò significa che il limite di una funzione di due variabili [a differenza del caso della funzione ad una sola variabile] <u>non può essere definito se (xo,yo) è un punto della frontiera di A</u>.
In genere conviene [cosa sempre possibile mediante un opportuno cambio di variabili] fare in modo che il punto (xo,yo) coincida con l’origine [ossia x=y=0] e operare il passaggio dalle coordinate cartesiane alle coordinate polari ponendo...
x= r cos (theta) y= r sin(theta) con r>0 e –pi < theta< = pi [1]
… e cercare poi il limite di f(r,theta) per r che tende a 0, <u>controllando che questo sia lo stesso per qualunque valore di theta</u>.
Ciò premesso esaminiamo la prima delle funzioni da te proposte…
(x^2*y-y^3)/(x^2+y^2) = y*(x^2-y^2)/ (x^2+y^2)= r*sin (theta)* r^2*[cos^2(theta)-sin^2(theta)]/r^2=
= r*sin(theta)* [cos^2(theta)-sin^2(theta)] [2]
E’ evidente che il limite per r che tende a 0 è 0 per qualunque valore assunto da theta.
Tralasciando per il momento la seconda veniamo alla terza…
(x^4+x*y^3)/sin(x^2+y^2)= x* (x^3+y^3)/sin (x^2+y ^2)= r*cos(theta)*r^3*[cos^3(theta)-sin^3(theta)]/sin(r^2)=
= r^2*[r^2/sin(r^2)]*cos(theta)*[cos^3(theta)-sin^3(theta)] [3]
Tenendo in conto che il termine r^2/sin(r^2) tende a 1 per r->0 si vede chiaramente che il limite cercato è 0 per qualunque valore assunto da theta.
Venendo ora alla quarta funzione, se applichiamo lo sviluppo della funzione cos(t) in serie di Taylor otteniamo da prima…
cos(x^2*y^2)= 1 – ½ * x^4*y^4+… [4]
da cui…
1-cos(x^2*y^2)= ½ * x^4*y^4-… [5]
Se operiamo la sostituzione di variabili la funzione diviene…
[1-cos(x^2*y^2)]/(x^2+y^2) = ½* x^4*y^4/(x^2+y^2)-… = ½ * r^8*cos^4(theta)*sin^4(theta)/r^2-…=
= ½*r^6*cos^4(theta)*sin^4(theta)-… [6]
E’ evidente anche in questo caso che il limite cercato è 0 per qualunque valore assunto da theta.
Venendo infine alla seconda funzione si osserva subito che, essendo definita nel semipiano in cui è y>1, il punto (0,1) è un punto di frontiera e pertanto il limite della funzione non esiste.
cordiali saluti!…
lupo grigio
- lupo grigio
da pserj » 13/02/2003, 16:31
Grazie Lupo Grigio )) grazie al tuo post credo di aver finalmente capito come poter risolvere questo tipo di limiti! ))
A lezione il prof. ci ha dato una "regola pratica" (secondo lui) per risolvere i limiti, era una cosa del tipo: il limite di f(x,y) per (x,y) che tende a (xo,yo) è uguale a l sse lim per r->0+ di |sup tra (0,2pi) di f(r*cos theta, r*sen theta) - l| = 0 (dove l è il valore presunto del limite da calcolare con non si sa quali altri modi
) ) Ti sembra una "regola pratica" ?! ) Molto meglio come mi hai spiegato tu! ))
Ancora grazie)
Sergio
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)) grazie al tuo post credo di aver finalmente capito come poter risolvere questo tipo di limiti! ))
A lezione il prof. ci ha dato una "regola pratica" (secondo lui) per risolvere i limiti, era una cosa del tipo: il limite di f(x,y) per (x,y) che tende a (xo,yo) è uguale a l sse lim per r->0+ di |sup tra (0,2pi) di f(r*cos theta, r*sen theta) - l| = 0 (dove l è il valore presunto del limite da calcolare con non si sa quali altri modi
) ) Ti sembra una "regola pratica" ?! ) Molto meglio come mi hai spiegato tu! ))
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