Integrali Tripli

[Alberto87]

Scusami franded avevi ragione!!!vi scrivo l'esercizio!!

se possodete il libro marcellini sbodrone, "Esercitazioni di matematica" volume 2 parte seconda,sono a pagina 238-239 numeri 3.89 e 3.91..
Ve ne scrivo 1 che nn mi riesce:

Calcolare gli integrali tripli:

$\int int int root(3)(x^2 + y^2) dx dy dz $

su C , dove C e il cono di vertice nel punto (0,0,-2) avente per base il cerchio di centro l'origine e raggio 1 contenuto nel piano xy

[franced]

Scusami franded avevi ragione!!!vi scrivo l'esercizio!!

Lo so che avevo ragione, altrimenti l'integrale triplo su un dominio avente
volume nullo (come ad esempio una superficie) è nullo...

[Alberto87]

lo sapresti risolvere quello?

[Lord K]

$int_0^(2*pi) int_0^1 int_(-2)^(0) root(3)(rho^2)*rho d theta d rho d zeta$

Come precedentemente ricavato.

[Ragnarok]

Salve a tutti. Mi chiamo Antonio e mi sono appena iscritto, cercando in rete un aiuto per risolvere lo stesso esercizio!
Ho provato di tutto e, o il libro dà una soluzione errata, o davvero è qualcosa di assurdo.

Lord K, nell'ultima risposta hai dimenticato di inserire il determinante Jacobiano.
Ma in ogni caso, quell'impostazione non ci porterà al risultato voluto.

Il problema fondamentale di quest'esercizio sta, secondo il mio parere, nel fatto che il vertice del cono non è nell'origine e quindi occorre agire con un procedimento "non-canonico".
Ho provato un po' di tutto, oltre alle coordinate cilindriche, anche Retta, o Triangolo (b=1, h=2) ruotati di 2pi intorno all'asse z, integrazione con estremi le equazioni delle rette passanti per il vertice e i punti d'intersezione del bordo della circonferenza e gli assi x e y...

L'ipotenusa del triangolo ha valore (radical) 5, oppure 2cos(fi) (scusate, non so ancora usare i simboli)
ho perfino pensato di inserire (fi) che varia da 0 ad arccos((radical) 5)) oltre all'angolo (teta)...
mah...

Chi mi può aiutare?


Ah, l' Equazione cartesiana in questo caso qual è?

[adaBTTLS]

[mod="adaBTTLS"]ad un anno "esatto" (+ 18 minuti) è stato riesumato questo topic.
sposto nella sezione di Analisi (perché la sezione Università è da chiudere).
benvenut* nel forum.[/mod]

[orazioster]

coordinate cilindriche!
${(x=\rhocos\theta),(y=\rhosin\theta),(z=\zeta):}$

Così:

$\int\int\int_{c} root(3)(x^2+y^2)dxdydz =$
$= \int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{1}d\rho\int_{-2(1-\rho)}^{0}[(\rho)^(2/3).\rho] d\zeta=$
$= 4\pi\int_{0}^{1}{\rho^(5/3) -\rho^(8/3)}d\rho =4\pi(3/8-3/11) =9/22\pi$, con la possibilità ch'ho sbagliato
qualche calcolo.

[Ragnarok]

Grazie.
Il risultato è esatto!
Avevo risolto comunque, insistendo sulle limitazioni delle rette tra vertice e intersezione cerchio/assi x,y.

$ -2 <= z <= 0 $
$-z/2 -1 <= x <= z/2 + 1$
$-z/2 -1 <= y <= z/2 + 1$

dopodichè, passando sempre a coordinate cilindriche, abbiamo come estremi di integrazione:

$ 0 <= ρ <= z/2 + 1 $
$ 0 <= θ <= 2π$
$ -2 <= z <= 0 $

[m.e._liberti]

Salve, vorrei riaprire questa discussione perché non riesco a capire gli estremi di integrazione su Z. Come sono stati determinati?

$= \int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{1}d\rho\int_{-2(1-\rho)}^{0}[(\rho)^(2/3).\rho] d\zeta=$

[sellacollesella]

vorrei riaprire questa discussione

Si chiama necroposting e in questo forum non è ben visto, specie quando si riesumano discussioni
allucinanti come questa, dove per trovare mezza riga corretta bisogna cercare con il lanternino!

non riesco a capire gli estremi di integrazione

Nello specifico, il passaggio chiave è capire cosa si debba effettivamente calcolare, ossia: \[
\iiint_\Omega \sqrt[3]{x^2+y^2}\,\text{d}x\,\text{d}y\,\text{d}z,
\quad \quad
\Omega := \left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: x^2+y^2\le r^2(z),\,-2 \le z \le 0\right\}
\] dove il raggio varia linearmente, ossia \(r(z)=a+b\,z\), e vogliamo che sia \(r(-2)=0\) e \(r(0)=1\).

Capito tutto ciò, un cambiamento di coordinate da rettangolari a cilindriche spiana la strada.