Integrali Tripli

[Alberto87]

Ciao a tutti !
Volevo un aiutino su alcuni integrali tripli.
Praticamente nn riesco a capire come fare l'integrale triplo di una funzione a 2 variabili su un cono.

Ad Esempio come si fa un integrale triplo di una funzione(esempio radiceterza(x^2 + y^2)) su un cono di equazione z=radice(x^2+y^2)

[Domè89]

Ciao a tutti !
Volevo un aiutino su alcuni integrali tripli.
Praticamente nn riesco a capire come fare l'integrale triplo di una funzione a 2 variabili su un cono.

Ad Esempio come si fa un integrale triplo di una funzione(esempio radiceterza(x^2 + y^2)) su un cono di equazione z=radice(x^2+y^2)

io farei un cambiamento di variabile.... userei el coordinate sferiche...

ciao ciao

[Lord K]

Il tuo problema lo riassumo scrivendolo un poco meglio:

$int_{z=x^2+y^2}root(3)(x^2+y^2) dx dy dz$

Se usi, come suggerito, le coordinate cilindriche:

$\{(x=rho*cos(theta)),(y=rho*sin(theta)),(z=zeta):}$

dove poi:

$\{(dx=cos(theta)*drho-rho*sin(theta)*d theta),(dy=sin(theta)*drho+rho*cos(theta)*d theta),(dz= d zeta):}$


l'integrale si "riduce" a:

$int_0^{2*pi} int_0^{1} int_{-oo}^{+oo} root(3)(rho^2)*(cos(theta)*drho-rho*sin(theta)*d theta)*(sin(theta)*drho+rho*cos(theta)*d theta)d zeta$

ovvero:

$int_0^{2*pi} int_0^{1} int_{-oo}^{+oo} rho^(2/3)*cos(theta)sin(theta)*drho drho d zeta+ int_0^{2*pi} int_0^{1} int_{-oo}^{+oo} rho^(5/3)cos(2*theta) drho d theta d zeta+ int_0^{2*pi} int_0^{1} int_{-oo}^{+oo} rho^(8/3)*cos(theta)sin(theta)*d theta d theta d zeta$

Salvo errori reputo che questa sia la soluzione che cerchi... i dettagli del calcolo te li lascio volentieri.

P.S. ho inserito i limiti a $-oo$ e $+oo$ visto che non viene detto che il cilindro è limitato.

[Alberto87]

il cilindro e limitato !! l'Equazione $z=root(2)(x^2+y^2)$ e quella di un cilindro limitato!!
E poi come mai hai trovato il dx dy e dz? nn si usa il determinante jacobiano uguale $ρ$ per le trasformazioni cilindriche??

[Lord K]

sì infatti ho sbagliato ^_^ sorry ma ero di fretta

[franced]

Ad Esempio come si fa un integrale triplo di una funzione(esempio radiceterza(x^2 + y^2)) su un cono di equazione z=radice(x^2+y^2)

Per un integrale triplo serve un dominio diverso da quello che dici tu.

Puoi prendere la parte interna di un cono, ma devi specificare meglio il dominio di integrazione.

[Lord K]

Riprendo usando il mio precedente post:[

Il tuo problema lo riassumo scrivendolo un poco meglio:

$int_{z=x^2+y^2}root(3)(x^2+y^2) dx dy dz$

Se usi, come suggerito, le coordinate cilindriche:

$\{(x=rho*cos(theta)),(y=rho*sin(theta)),(z=zeta):}$

dove poi:

$J = [[cos(theta), -rho*sin(theta), 0],[sin(theta), rho*cos(theta), 0],[0,0,1]]$

$det (J) = rho$

da cui:

$int_0^(2*pi) int_0^1 int_(t_0)^(t_1) root(3)(rho^2)*rho d theta d rho d zeta$

Ed ora dovrei esserci... (controllate plz che in analisi non sono troppo bravo )

P.S. ho inserito gli estremi di integrazione a $t_0$ e $t_1$ per $zeta$.

[Alberto87]

*Franced :

come devo specificare il dominio di integrazione??
il dominio di integrazione e appunto il cono con quella equazione!! cioe devo integrare quella funzione di 2 variabili in quel cono!

[Lord K]

Il cilindro ove tu integri rimanendo generico ha altezza infinita, quindi sono necessari dei limiti di altezza sostanzialmente... oppure ulteriori vincoli.

[clrscr]

Secondo me la soluzione è la seguente....
Innanzitutto possiamo operare con coordinate polari perchè il dominio dove integrare è l'eq di una circonferenza centrata nell'origine con raggio UGUALE a "z".


quindi:
$x=z cos theta$
$y=z sen theta$
$z=z$

da cui:

$int_0^(+oo) int_0^(2 pi) z*z^(2/3) d theta dz$ dato che il raggio è fissato sparisce l'integrale che dipende dl $rho$ (inteso come raggio).